Tema 1. Nombres naturals, sistemes de numeració.

Índex

1. Introducció
2. La construcció axiomàtica: els axiomes de Peano
3. La construcció conjuntista: cardinal i ordinal
4. Inducció, recursió i definició de les operacions
5. Ordre, bona ordenació i estructura algèbrica
6. Divisibilitat, nombres primers i algorisme d'Euclides
7. L'infinit dels naturals: cardinalitat i numerabilitat
8. Els sistemes de numeració: tipologia i recorregut històric
9. El valor posicional: teorema fonamental de la numeració i canvi de base
10. Aplicació didàctica i relació amb el currículum
11. Conclusió
12. Bibliografia i referències

1. Introducció

Comptar és, amb gairebé tota seguretat, la primera activitat pròpiament matemàtica de la humanitat. Els ossos amb musques agrupades trobats en jaciments de fa més de vint mil anys, com el peroné d'Ishango, mostren que la necessitat de registrar quantitats precedir en mil·lennis a l'escriptura. I comptar és també el primer que fa un nen petit amb les matemàtiques, molt abans de trepitjar una aula. Aquesta doble condició d'objecte primitiu i objecte quotidià ha alimentat una il·lusió persistent: la que els nombres naturals són senzills. No ho són. Preguntar-se amb rigor què és el número tres va posar en marxa, a finals del segle XIX, la refundació completa dels fonaments de la matemàtica, i d'aquella pregunta van sortir la teoria de conjunts, la lògica matemàtica moderna i bona part de la informàtica teòrica. Leopold Kronecker el va resumir amb una frase famosa: els números naturals els va fer Déu i tota la resta és obra de l'home.

Aquest tema respon a dues preguntes complementàries que un professor de Matemàtiques ha de dominar amb solvència. La primera és ** Què són els naturals: com es construixen sense recolzar-se en la intuïció, quines propietats els caracteritzen de manera unívoca, com es definixen a partir del res la suma i el producte, en quin sentit precisa el conjunt que formen és infinit. La segona és** com es descriuen quins sistemes ha inventat la humanitat per nomenar i manipular quantitats, què separa un sistema additiu d'un posicional, per què el valor de posició i la invenció del zero constituixen una de les majors revolucions intel·lectuals de la història, i per què la base dos és avui el llenguatge intern de tota la tecnologia digital.

Les dues preguntes estan més unides del que sembla. Un sistema de numeració no és una notació arbitrària enganxada per sobre dels números: és un algorisme comprimit. Escriure una quantitat en base deu és factoritzar-la en potències de deu, i d'aquesta factorització depenen els algorismes de càlcul que s'ensenyen a primària i, segles després, l'arquitectura d'un processador. Qui entén el teorema fonamental de la numeració entén alhora per què "emportem una" en sumar i per què un ordinador utilitza dos símbols.

No és casual que aquest sigui el primer tema del temari. Els continguts que aquí es tracten pertanyen de ple al [Crintoinum el bloc amb el qual el currículum vigent obre la competència matemàtica en tota l'educació secundària, i són condició prèvia del sentit de la mesura, del sentit algebraic i del pensament computacional. El desenvolupament que seguix entrellaça tres mirades: la fundacional , que aixeca l'edifici des de l'axiomàtica de Peano i les construccions conjuntistes; la aritmètica , que desplega operacions, ordre, divisibilitat i cardinalitat; i la històrica i didàctica, que resseguix una història profundament intercultural i situa cada bloc a l'aula, amb els seus errors típics, els seus materials i les seves formes d'avaluar.

2. La construcció axiomàtica: els axiomes de Peano

2.1. De la intuïció a l'axioma

Durant mil·lennis els naturals es van utilitzar sense definir-se. L'aritmètica funcionava, i això n'hi havia prou. La crisi va arribar quan l'anàlisi del segle XIX, empenyorat en fonamentar el continu, es va adonar que tot l'edifici descansava en un fonament que ningú havia examinat. Richard Dedekind, en Què són i per a què servixen els números? (188), i Giuseppe Peano, en Arithmetices principi (1889), van donar la resposta que seguix vigent: no es definix què és un número, sinó que es caracteritza el sistema sencer mitjançant axiomes, i es demostra que aquest sistema és essencialment únic.

El mètode axiomàtic partix de tres termes primitius — un conjunt \mathbb{N}, un element distingit 0 i una funció sousor s — que no es definixen, sinó que es regulen per les seves propietats. Els axiomes són cinc:

• ( P1) 0 \in \mathbb{N}.
• ( P2) Si n \in \mathbb{N}, aleshores s(n) \in \mathbb{N}.
• (P3) No existix cap n \in \mathbb{N} tal que MATHINLINE_ 25 TATHINLINE_ 26 no és successor de ningú.
• (P4) La funció successora és injectiva: si s(m) = s(n), aleshores m = n.
• ( P5) Axioma d'inducció. Si un subconjunt S \subseteq \mathbb{N} complix que 0 \in S i que n \in S implica s(n) \in S, aleshores S = \mathbb{N}.

Que el primer element sigui el 0 o el 1 és una convenció sense conseqüències matemàtiques: Peano arrencava en 1 i avui la pràctica majoritària, sobretot en teoria de conjunts i en informàtica, arrenca en 0. El que sí convé tenir clar és que l'elecció afecta enunciats posteriors —el 0 és divisible per tot número, no té invers multiplicador i és el neutre de la suma — i que l'alumne la percep com un capritx si no se li explica.

2.2. La funció de cada axioma

La força d'una axiomàtica s'estima traient peces i veient què es trenca. Si se suprimix ( P3), res no impedix que la cadena es tanqui sobre si mateixa: el conjunt de restes mòdul cinc, amb el successor "sumir-ne un i tornar-ne a començar", complix tots els altres axiomes i no és \mathbb{N}. Si se suprimix ( P4), dos números diferents poden tenir el matix successor i la cadena es pliega, amb la qual cosa es perd la possibilitat de restar sense ambigüitat. I si se suprimix ( P5), aparixen els models amb intrusisme: només prendre la cadena habitual i afegir-li, a part, una còpia sencera dels enters que ningú arriba des del 0 per successions fines. Aquest objecte satisfà els quatre primers axiomes i no és el conjunt dels naturals.

Figura 1. El axioma de inducción es el que expulsa los modelos con elementos inalcanzables desde el cero.

Aquest cinquè axioma és, per tant, el que dóna identitat a \mathbb{N}: afirma que el conjunt no conté res més que el successor genera a partir del 0. Dedekind va demostrar a més el resultat que corona la construcció: ualsevol parell de sistemes que satisfacin els cinc axiomes són isomorfos, és a dir, existix una bijecció entre ells que respecta el zero i el successor. L'axiomàtica és categòrica i, en aquest sentit precís, «els» números naturals són únics llevat del nom dels seus elements.

Convé matisar un punt que un tribunal agraeixi: la categoria exigix llegir ( P5) com un axioma de segon ordre, quantificant sobre tots els subconjunts de \mathbb{N}. Si es formalitza l'aritmètica en lògica de primer ordre, la inducció esdevé un esquema amb infinits casos, un per cada fórmula expressable en el llenguatge, i llavors aparixen models no isomorfs a l'estàndard: són els models no estàndard de l'aritmètica. En aquest matix terreny se situa el teorema d'incompletitud que Kurt Gödel va prometre en 1931: cap sistema formal consistent i recursivament axiomatitzable que contingui l'aritmització pot demostrar totes les veritats sobre els naturals. L'objecte més elemental de la matemàtica resulta ser inagtable.

A l'aula, la lectura útil de tot això és doble. Primer, que la inducció no és comprovar molts casos: és l'error més estès, i convé combatre'l amb contraemplos com el polinomi n^2 + n + 41, que produix números primers per als quaranta primers valors de n i falla en n = 40. Segon, que un axioma no és una veritat evident sinó una regla de joc explícita, idea que en quart de l'E ESO i en batxillerat permet presentar la matemàtica com a construcció i no com a catàleg.

3. La construcció conjuntista: cardinal i ordinal

Els axiomes caracteritzen a \mathbb{N}, però no garantixen que existeixi algun objecte que els compleixi. Construeix un model dins de la teoria de conjunts tanca aquesta llacuna, i hi ha dos camins clàssics que corresponen a les dues cares del número.

3.1. La via cardinal: Frege i Russell

Gottlob Frege i, més tard, Bertrand Russell van partir de la pregunta "què tenen en comú tots els conjunts de tres elements?". La resposta és la aquípotència : dos conjunts A i B són equipats si existix una bijecció entre ells. L'equipotència és una relació d'equivadència, i un número cardinal es definix com la classe de tots els conjunts de màquines que s'acosten entre ells. El tres seria, així, el que compartixen tots els trios de l'univers.

La idea és intuïtivament perfecta i tècnicament problemàtica: aquestes classes són massa grans per ser conjunts, i admetre-les conduix a la paradoxa que el matix Russell va comunicar a Frege el 1902. La teoria axiomàtica de conjunts va resoldre l'assumpte escollint un representant canònic de cada classe en comptes de la classe sencera, que és just el que fa la via ordinal.

3.2. La via ordinal: von Neumann

John von Neumann va proposar identificar cada natural amb el conjunt dels seus predecessors:

d'on resulta 1 = \{\varnothing\}, 2 = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} i, en general, n = \{0, 1, 2, \dots, n-1\}. La definició té dues virtuts notables. D'una banda, cada número té exactament n elements, amb el que el seu cardinal coincidix amb ell matix. De l'altra, l'ordre es torna gratuït: m < n equival a m \in n.

Figura 2. Los naturales de von Neumann: el cardinal de cada número coincide con el propio número.

Que existeixi un conjunt que contingui a tots ells no es deduix de la construcció: cal postular-lo, i aquest és el paper de l'axioma d'infinició de la teoria de conjunts. Amb ell, el menor conjunt que conté el buit i és tancat per l'operació successor és precisament \mathbb{N}, i es comprova sense dificultat que satisfà els cinc axiomes de Peano. El cercle queda tancat: l'axiomàtica diu com es comporten els naturals i la construcció demostra que hi ha alguna cosa que es comporta així.

3.3. Les dues cares del número i la seva lectura a l'aula

D'aquí surt una distinció que travessa tota l'ensenyament de l'aritmètica. El sonen a "Quants hi ha?" i és invariant davant l'ordre en què es compti; el respon a "en quin lloc està?" i depèn de la disposició. Els cinc principis del comptatge descrits per Rochel Gelman i Charles Gallistel —corresponència un a un, ordre estable, cardinalitat, abstracció i irrellelevància de l'ordre— descriuen justament com s'apreten ambdues cares quan un nen aprèn a comptar.

Tot i que el comptatge es consolidi en l'etapa anterior, les seves llacunes arriben a secundària: alumnat que respon recitant la sèrie sencera en lloc de donar l'últim terme com a cardinal, o que no accepta que comptar de dreta a esquerra doni el matix resultat. I hi ha una confusió de més calat, pròpia ja de secundària: la que es dóna entre el número com mesura de mida i el número com posició, i que reaparix amb tota la seva força en el tractament de l'infinit de la secció 7 i en la lectura d'escala i percentils. Nomenar la distinció amb exemples senzills — el dorsal d'un corredor és un ordinal disfressat, i sumar-los no significa res — preveu errors posteriors.

4. Inducció, recursió i definició de les operacions

4.1. El principi d'inducció i les seves variants

Convertit en mètode de demostració, el cinquè axioma diu: si una propietat P complix P(0) i complix que P(n) implica P(n+1) per a tot n, aleshores P(n) és certa per a tot natural. Les dues peces són igual de necessàries. Sense cas base la cadena no arrencada, encara que el pas inductiu sigui impecable: la propietat «n = n+1» satisfà el pas inductiu i és falsa sempre. Sense pas inductiu no hi ha propagació.

Figura 3. Las dos piezas de una demostración por inducción y qué ocurre si falta alguna.

Hi ha variants d'ús constant. La ** inducció des de k prova la propietat només a partir d'un cert valor, útil quan l'enunciat falla en els primers casos, com en 2^n > n^2, certa a partir de n = 5. La** inducció forta ** o completa permet suposar la propietat per a** tots els valors menors que n en provar- la per a n; és la forma adequada quan el pas no es dóna suport a l'anterior immediat, com és quan es demostra que tot natural més gran que un té un divisor primer. Ambdues variants són equivalents al principi original.

Com a exemple canònic, la suma dels _M n primers naturals positius:

Per a n = 1 ambdós membres valen 1. Suposada certa per a n, sumant n+1 als dos costats s'obté \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}, que és l'engegat per a n+1. Mereix la pena contrastar aquesta prova amb l'argument visual d'aparellir el primer amb l'últim —el que la tradició atribuix a Gauss — perquè la comparació deixa veure què afegix el rigor: la inducció certifica la fórmula per a tot n, mentre que l'aparell convenç però exigix cura amb la paritat.

Un exercici didàctic de gran rendiment és la fal·làcia clàssica que "tots els cavalls són del matix color", on el pas inductiu es trenca en passar d'un a dos exemplars perquè els conjunts que es solapa dixen de solapar-se. Analitzar on falla ensenya més sobre el mètode que deu demostracions correctes.

4.2. El teorema de recursió

La inducció servix per a demostrar. Per a definir cal un resultat bessó que, sorprenentment, s'oblida gairebé sempre: el de Dedekind. El seu enunciat és que, donat un conjunt A, un element a \in A i una funció g : A \to A, existix una funció f : \mathbb{N} \to A tal que

És aquest teorema, i no l'axioma d'inducció per si sol, el que legitima les definicions recursives. Sense ell, escriure 'es definix f per f(0)=a i f(n+1)=g(f(n)) ' seria una petició de principi: no sabríem que aquest objecte existix ni que està determinat sense ambigüitat.

4.3. Suma, producte i potència

Amb el teorema de recursió, les operacions es construixen sense donar res per descomptat. La es definix fixant el primer sumant i resseguint el segon:

El producte es definix sobre la suma ja construïda, i la potència sobre el producte:

La jerarquia és transparent: sumar és iterar el successor, multiplicar és iterar la suma, elevar és iterar el producte. Aquesta lectura, exposada a l'aula, ordena de cop una jerarquia que molts alumnes maneja sense comprendre, i explica de pas convenis que solen presentar-se com arbitraris, com que m^{0} = 1 sigui el neutre del producte igual que m \cdot 0 = 0 és el neutre de la suma.

Totes les propietats algèbriques es demostren després per inducció, i cap és gratuïta. L'associativitat de la suma es prova per inducció sobre el tercer sumant; la commutativitat exigix dos lemes previs (0 + n = n i s(m) + n = s(m+n)) i és un exercici excel·lent per mostrar que el « obvi» té cost. Hermann Grassmann ja havia donat aquestes definicions recursives el 1861, gairebé tres dècades abans que Peano, en un llibre de text escolar que va passar gairebé inadvertit.

5. Ordre, bona ordenació i estructura algèbrica

5.1. L'estructura algebraica dels naturals

Amb la suma i el producte, \mathbb{N} és un semporanillo commutatiu amb unitat: ambdues operacions són associatives i commutatives, tenen element neutre (0 i 1 respectivament) i el producte distribuix sobre la suma. A més ambdues són cancel·latives: de a + c = b + c se seguix a = b, i de a c = b c amb c \neq 0 se seguix a = b.

L'interessant és el que falta. No hi ha cap contrari, de manera que (\mathbb{N}, +) és un monoide i no un grup, i la resta només està definida quan el minou no és més petit que el subtraient. No hi ha invers multiplicadors excepte per al 1, i la divisió exacta només funciona de vegades. Aquestes dues mancances són el motor de les ampliacions successives del concepte de número: \mathbb{Z} nix d'exigir oposats i \mathbb{Q} de exigir invers. Presentar així les ampliacions —cada conjunt numèric com la resposta a una equació que en l'anterior no tenia solució, x + 3 = 1 per a MATHINLINE 101 TAMHINLINE 103, _MATHINLINE 04 per a \mathbb{R} — és la millor transposició didàctica disponible en primer i segon de l'ESO, i evita que l'alumnat visqui cada ampliació com una regla nova caiguda del cel.

Aquesta manera de mirar, que atén l'estructura comuna i no la naturalesa dels objectes, és la que Emmy Noether va convertir en mètode a partir dels anys vint del segle passat i la que avui vertebra l'àlgebra: el que importa de MATHINLINE 06 no és de què estan fets els seus elements, sinó quines operacions admeten i quines propietats tenen.

5.2. L'ordre i la tricotomia

L'ordre es definix a partir de la suma: MATHINLINE 1.07 si i només si hi ha MATHINLINE 08 amb MATHINLINE 1. Es comprova que és una relació d'ordre total, compatible amb les operacions (a + c \le b + c i ac \le bc), i que complix la trictomia: daus a i b, es verifica exactament una de les tres relacions a < b, a > b. L'equivalència entre aquesta definició i la conjuntista de von Neumann (m < n si m \in n) és un bon exercici de coherència entre les dues construccions.

5.3. La bona ordenació i la divisió euclídea

La propietat més potent de l'ordre de \mathbb{N} és la _bena ordenació : tot subconjunt no buit de \mathbb{N} té mínim*. No és una curiositat; és equivalent al principi d'inducció i, en la pràctica, l'eina amb la qual es demostren els teoremes de l'aritmètica. La seva versió operativa és el principi del descens infinit de Fermat: no existix una successió estrictament decreixent infinita de naturals, de manera que un procés que fa decréixer un natural en cada pas acaba forçosament. Aquesta és la raó última que l'algoritme d'Euclides pare, i que els algorismes recursius amb un argument natural decreixent no es pengen.

De la bona ordenació surt el teorema clau de tota l'aritmització elemental:

Teorema (divisió euclídea). Dats a \in \mathbb{N} y b \in \mathbb{N} amb T q, r \in \mathbb{N} tal que a = bq + r amb 0 \le r < b.

La demostració és breu i convé tenir-la preparada. Per a la existència, es considera el conjunt R = \{a - bk : k \in \mathbb{N}, \ bk \le a\}, que no és buit perquè conté a a (tonocomandament k = 0). Per bona ordenació té un mínim r = a - bq. Si fos r \ge b, aleshores r - b = a - b(q+1) pertanyeria a R i seria menor que r, contra la minimalitat; després r < b. Per a la unicitat, si a = bq + r = bq' + r' amb ambdues restes en [0, b), restant s'obten MATHINLINE_139 MATHINLINE_140 i l'esquerra és múltiple de b, així que ambdós són zero. El quocient és q = [a/b], la part sencera del quocient.

Els errors de l'alumnat en aquest punt són sistemàtics i merixen atenció: acceptar restes iguals o majors que el divisor, fent per fet que la resta de dividir entre b pot ser negatiu, o no reconèixer la divisió euclídea darrere de l'algorisme escrit que porten practicant des de primària. Tornar sobre l'algorisme de la divisió en secundària, ara amb el teorema davant, convertix una rutina mecànica en un resultat comprès.

6. Divisibilitat, nombres primers i algorisme d'Euclides

6.1. La relació de divisibilitat

Es diu que b dividix a a, i s'escriu b \mid a, si hi ha c \in \mathbb{N} amb a = bc; és a dir, si la resta de divisió euclídea és zero. En \mathbb{N} la divisibilitat és reflexiva, transitiva i antisimètrica, de manera que constituix una relació d'ordre parcial — no total, perquè ni THINLINE MATHINLINE _15 (1, que dividix tots els quals són el 0, al qual tots dividixen. Aquest darrer fet és sorprenent sovint: 0 = b \cdot 0 per a qualsevol b, així que tot nombre dividix a zero, encara que no es pugui dividir entre zero.

6.2. Nombres primers i teorema fonamental de l'aritmètica

Un natural p > 1 és primer si els seus únics divisors són 1 i ell matix; si en teniu d'altres, és compost. El 1 no és primer ni compost, i la raó no és capritxosa: si ho fos, la factorització deixaria de ser única, perquè podríem afegir quants uns voldríem. La garbell d'Erastones, del segle III abans de la nostra era, continua sent el procediment elemental per obtenir-los, i n'hi ha prou amb tatxar els múltiples dels cosins que no superen \sqrt{n}, perquè tot compost més petit o igual que n té un factor primer per sota d'aquesta arrel.

Figura 4. Criba de Eratóstenes hasta cincuenta y el criterio de parada en la raíz cuadrada.

El teorema fonamental de l'aritmètica. tot natural més gran que 1 s'escriu com a producte de cosins, i aquesta escriptura és única llevat de l'ordre dels factors.

La existència es prova per inducció forta: si n és primer, ja està; si és compost, n = ab amb T 1 < a, b < n, i per hipòtesis d'inducció a i b se factoritzen, després n també. La unitat descansa al lema d'Euclides: si un cosí p M ab, aleshores dividix a a o dividix a b. Amb ell, comparant dues factoritzacions i cancel·lant cosins comuns un a un, s'arriba a que ambdues coincidixen. No es pot dir que la unitat no és un regal: en altres sistemes numèrics falla, i sense ella no hi hauria fraccions irreduïbles, ni un mínim comú denominador, ni criteris de divisibilitat.

A l'escriptura habitual s'agrupen els factors repetits:

d'on surten resultats pràctics que l'assumix sense saber d'on vénen: el nombre de divisors de n és (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\cdots(\alpha_k + 1), perquè cada divisor es forma escollint l'insistent de cada cosí entre 0 i \alpha_i.

Les famílies particulars de cosins han impulsat bona part de la teoria de nombres. Els prims de Mersenne, de la manera 2^p - 1, sostenen la recerca computacional de cosins gegants; els prims de Sophie Germain són aquells MATHINLINE_177 MATHINLINE_178 també és cosí, i han de ser nomenats per a que Germain els va utilitzar a començaments del segle XIX per a demostrar el primer cas de l'últim teorema de Fermat per a aquests exponents, en un treball que va haver de signar inicialment amb nom masculí per a que se li prengués seriosament.

6.3. La infinititat dels cosins

La demostració d'Euclides és una de les joies de la matemàtica i cap en cinc línies, així que cal portar-la preparada. Suposem que només hi ha un nombre finit de cosins, p_1, p_2, \dots, p_k. Comseieu

Com a N > 1, té algun divisor primer, que per hipòtesi ha de ser algun dels p_i. Però aquest p_i dividix també al producte p_1 p_2 \cdots p_k, després dividiria a la diferència, que és 1: impossible. Per tant, hi ha infinits cosins. Mereix assenyalar- se un matíz que es malinterpreta sovint: el número N construït no ha de ser primer; l'únic que s'afirma és que el seu factor primer escapa a la llista.

La distribució dels cosins, en canvi, és tot el contrari de senzilla. El teorema dels números primers, demostrat el 1896 per Hadamard i de la Vallée Poussin, afirma que la quantitat de cosins menors o iguals que x es comporta asintòticament com a x / \ln x: els cosins es van espaiant, però mai no s'han esgotat. I la conjectura dels cosins bessons o la hipòtesi de Rieman encara estan obertes, cosa que convertix en aquest bloc en un exemple immillorable que la matemàtica és una ciència viva, missatge de gran valor motivador en quart de l'escè i en batxillerat.

6.4. Màxim comú divisor, mínim comú múltiple i algorisme d'Euclides

El màxim comú divisor \operatorname{mcd}(a,b) és el més gran dels divisors comuns; el comú múltiple \operatorname{mcm}(a,b), el menor dels múltiples comuns positius. Amb la factorització, el primer pren cada cosí comú amb el menor exponent i el segon cada cosí present amb el major, d'on surt la identitat

Ara bé, factoritzar és car: la seguretat de la criptografia de clau pública es recolza justament en aquesta dificultat. Per això el procediment eficaç és el Algoritme d'Euclides, que només utilitza divisions i descansa en la identitat \operatorname{mcd}(a,b) = \operatorname{mcd}(b, r), on r és la resta de dividir a entre b. Com que les restes decreixen estrictament, la bona ordenació garantix que el procés acaba, i l'última resta no nul és el màxim comú divisor.

Figura 5. El algoritmo de Euclides y la identidad de Bézout asociada.

Es recorda cap enrere les igualtats de l'algorisme i s'obté la identitat de Bézout: per a a i b no tots dos nuls existixen sencers u i v -enters, no naturals, perquè un dels dos coeficients serà negatiu — tals que au + bv = \operatorname{mcd}(a,b). D'ella es deduix el lema d'Euclides que sostenia la unicitat de la factorització, amb el que l'edifici es tanca sobre si matix, i d'ella surten també els invers modulars que usen els sistemes criptogràfics actuals.

6.5. Criteris de divisibilitat i congruències

Els criteris que l'alumne memoritza a primària tenen una explicació d'una línia si es disposa del llenguatge de les congruències. Com a 10 \equiv 1 \pmod 9, es té 10^k \equiv 1 per a tot k, i per tant tot número és congruent mòdul nou amb la suma de les seves xifres: d'aquí els criteris del 3 i del 9. Com a 10 \equiv -1 \pmod{11}, les potències alternes signe i el criteri del 11 compara la suma de les xifres de lloc parell amb la de lloc senar. Els criteris del 2, del 5 i del 10 només miren les últimes xifres perquè les potències de deu des de 10^1 són múltiples d'aquests números.

La conseqüència didàctica és de primer ordre: els criteris de divisibilitat depenen de la base. En base dotze, per exemple, el criteri senzill seria el del 11, i no el del 9. Mostra-ho desmunta la idea que les regles de l'aritmització són veritats absolutes i no conseqüències d'una notació, i connecta directament amb la secció 9.

Com a tancament d'alt nivell per a aquest bloc, convé tenir a mà el darrer problema d'Hilbert, que demanava un algorisme per decidir si una equació polinòmica amb coeficients sencers té solució en sencers. El 1970, la resposta va ser negativa: no hi ha cap algoritme. El resultat es conix com a teorema de Matiyasévich, tot i que descansa sobre el treball previ de Julia Robinson, Martin Davis i Hilary Putnam, i en particular sobre la hipòtesi de Robinson, la peça que Yuri Matiyasévich va aconseguir provar. Hi ha preguntes sobre els naturals que cap màquina podrà respondre.

7. L'infinit dels naturals: cardinalitat i numerabilitat

Que \mathbb{N} és infinit es seguix dels axiomes: si fos finit, el successor no podria ser injectiu sense repetir valors. Però dir «infinit» sense més és imprecís, i precisar què significa va ser la gran aportació de Georg Cantor en l'últim quart del segle XIX.

La clau és substituir el comptatge per la bijecció: dos conjunts tenen el matix cardinal si existix una correspondència biunívoca entre ells. Aplicat a conjunts infinits, el criteri produix resultats que xocen de front amb la intuïció. La correspondència n \mapsto 2n sembla cada natural amb un parell, de manera que hi ha tants parells com naturals Malgrat que els parells són una part pròpia. En el transcurs de l’any 1638, la seva mare ja havia estat topada amb la paradoxa amb els quadrats perfectes i l’havia considerat un motiu per no parlar de mides infinites; Dedekind va fer el contrari i va convertir l’anomalia en definició: un conjunt és precisament quan és equipat a una part pròpia de si matix.

Un conjunt s'anomena quan es pot posar en bijecció amb \mathbb{N}, és a dir, quan els seus elements es poden llistar en una successió sense deixar-se cap. La vostra cardinal es denota \aleph_0. Són numerables el conjunt dels enters, ordenant-los 0, 1, -1, 2, -2, \dots, i també \mathbb{Q}, mitjançant el recorregut en ziga-zag de la taula de fraccions.

Figura 6. El zigzag de Cantor: recorrer la tabla por diagonales prueba que los racionales son numerables.

El contrapunt arriba amb el argument diagonal, publicat per Cantor el 1891: el conjunt dels números reals no és numerable. Suposeu-vos donada una llista que pretengui contenir tots els reals de l'interval [0,1] escrits en decimal. Llavors es construix un número nou la primera xifra decimal del qual difereixi de la primera xifra del primer número de la llista, la segona de la qual difereixi de la segona del segon, i així successivament (evitant el 0 i el 9 per a esquivar les ambigüitats de les representacions periòdiques). El número resultant està en l'interval i no coincidix amb cap de la llista, perquè diferix de cada un en almenys una posició. Després cap llista les esgota: hi ha infinits de mides diferents, i \mathbb{R} té un cardinal estrictament més gran que n \in \mathbb{N}.

Aquesta secció té una càrrega didàctica considerable. L'infinit és el terreny on les intuïcions de l'ascendit fallen de manera més previsible: s'anomena que "hai el doble de naturals que de parells", que "infinit més un és més que infinit" o que s(n) \in \mathbb{N} \mathbb{N} perquè entre dos racionals qualssevol hi ha infinits més. La imatge de l'hotel d'Hilbert —un hotel amb infinites habitacions ocupades que tot i així pot allotjar un hoste més, o infinits— és un recurs provat per primer de batxillerat: no demostra res per si sola, però desbloqueja la idea que amb l'infinit el criteri vàlid és l'aparelliment, no la inclusió.

8. Els sistemes de numeració: tipologia i recorregut històric

8.1. Què és un sistema de numeració

Un sistema de numeració és un conjunt de símbols juntament amb un conjunt de regles que permeten representar tots els números de forma i, si el sistema és bo, i Convé distingir amb nitidesa el número, que és l'objecte matemàtic, del numeral, que és el seu nom escrit: el cinc és el matix objecte tant si s'escriu V, 101 o amb cinc musques, i aquesta distinció, obvia per al docent, no ho és per a un alumne de primer de l'ESO.

Històricament, quatre principis es combinen en diferents proporcions. El codi suma els valors dels símbols presents. El substractiu resta el valor d'un símbol quan precedix a un altre de més gran. El multiplicatiu utilitza un símbol com a quantificador d'un altre. I el el més potent, fa dependre el valor de cada símbol del lloc que ocupa.

Figura 7. Tipología de los sistemas de numeración según el principio dominante.

8.2. Els sistemes additius

El gegipci jeroglífic, cap al 3000 abans de la nostra era, és additiu pur en base deu: un símbol diferent per a cada potència —traç, nansa, corda enrotllada, flor de lotus — repetit tantes vegades com calgui. És fàcil de llegir i desastros per calcular, i exigix inventar un símbol nou cada vegada que es puja un ordre de magnitud. El grec funcionava igual amb les inicials dels noms dels números; el va substituir les repeticions per les vint-i-set lletres de l'alfabet, guanyant concisió a costa de confondre lletres i xifres.

El romà afegix el principi substractiu, però seguix sent additiu en el que és essencial. Comparar el producte de INLINECODE 65 per INLINECODE amb el de INLINECODE _67 per 23 és una activitat d'aula insuperable: no hi ha millor manera que l'alumne descobreixi que un sistema de numeració és una tecnologia i que l'eficiència del càlcul escrit en depèn. Els romans es calculen amb àbac i no per escrit dixen de ser anècdota per convertir-se en conseqüència necessària.

8.3. Els sistemes posicionals antics

El primer sistema posicional documentat és el, al voltant del 2000 abans de la nostra era, i és sexagesimal : base seixanta amb una subestructura decimal per a xifres. Van escollir seixanta, amb tota probabilitat, per la seva riquesa de divisors —doce en total —, el que facilita repartiments i fraccions. L’elecció ha resultat ser la més longeva de la història: continuar mitjançant el temps i els angles en base seixanta. La seva gran carència inicial va ser no disposar de zero, el que feia ambigua l'escriptura; només en època tardana van introduir un signe separador, i mai el van utilitzar al final d'un numeral.

La cultura va desenvolupar, completament independent, un sistema posicional vigesimal amb un símbol propi per al zero, representat per una petxina, molt abans que la idea arribés a Europa. El vostre compte llarg calendàric introduix una irregularitat reveladora: la segona posició no val THINLINE 125 si no MATHINLINE 26, per ajustar el sistema a l'any de tres-cents seixanta dies. És un exemple excel·lent que la notació es pliega a la funció.

8.4. La síntesi indoàbiga i el paper del zero

El sistema que avui utilitzem es gesta a l'Índia entre els segles V i VII: base deu, deu xifres diferents, valor posicional i, sobretot, un no és només un buit sinó un número amb el qual s'opera. Brahmagupta, cap a l'any 628, va formular per escrit les regles de càlcul amb el zero i amb les quantitats negatives, incloent l'advertència sobre la divisió entre zero. La transmissió cap a occident va passar pel món islàmic —el tractat d'al-Juarismi sobre el càlcul amb xifres índies, del nom latinitzat del qual procedix la paraula algoritme — i va desembarcar a Europa amb el Lliber abaci de Leonardo de Pisa, Fibonacci, en 1202. La substitució va trigar tres segles, amb resistències notables dels gremis de calculistes, fins que la impremta i la comptabilitat mercantil van rasar la qüestió.

Mereix la pena situar aquí a Hipatia d'Alejandria, que al segle IV va encabir l'escola neoplatònica de la ciutat i va elaborar comentaris a la Aritmètica de Diofanto i a les Còniques d'Apoloni, a més de treballs sobre taules astronòmiques de càlcul. La seva tasca pertany a la mateixa tradició de transmissió i depuració de textos que va fer possible que l'aritmètica grega arribés al món islàmic i, des d'allà, de tornada a Europa juntament amb les xifres índies.

Aquest recorregut no és un ornament erudit. La història de la numeració és radicalment intercultural: el que utilitzem cada dia és una construcció col·lectiva índia, àrab, babilònica, grega i europea, i presentar-ho així a l'aula és una via natural per treballar la valoració de la diversitat cultural. En un centre amb alumnes de procedències diverses, demanar que cadascú investigui com es nomenen i escriuen els números en la llengua de la seva família convertix aquesta diversitat en material matemàtic i no en un mer decorat.

9. El valor posicional: teorema fonamental de la numeració i canvi de base

9.1. El teorema fonamental de numeració

Tota la potència del sistema posicional es condensa en un teorema que convé enunciar amb precisió.

Teorema fonamental de la numeració. Sea b \in \mathbb{N} amb b \ge 2. Tot natural N \ge 1 s'escriu de forma única com *

amb 0 \le a_i < b per a tot i i a_k \ne 0.

La existència es demostra per inducció forta aplicant la divisió euclídea: en dividir N D b s'obté THINLINE 35 amb MATHINLINE 2636; si THINLINE 37 TAMHINLINE 38 i la hipòtesi d'inducció li proporciona el seu desenvolupament, que multiplicat per \mathbb{N} i sumat THINLINE dóna el MATHINLINE 41. La se seguix de la unicitat del quocient i la resta en cada pas. La demostració és la que un tribunal espera sentir, i té la virtut que conté l'algoritme: la prova i el mètode de conversió són la mateixa cosa.

D'aquí surten diverses conseqüències immediates. El sistema necessita exactament 0 símbols, un per cada resta possible, i entre ells ha de figurar el zero per marcar les posicions buides. La quantitat de xifres de \mathbb{N} en base b és [\log_b N] + 1: com més petit és la base, més llarg és el numeral, que és la raó que un nombre modest en decimal es convertix en una rastra d'uns i zeros en binari. I amb n posicions es representen exactament b^n valors diferents, de 0 a T b^n - 1.

9.2. El canvi de base

Per passar de base deu a base b s'aplica l'algoritme que la demostració regala: divisions successives entre b, desant les restes, fins arribar al quocient zero; el numeral es llegix prenent les restes .

Figura 8. Conversión por divisiones sucesivas y agrupamiento de bits para leer el hexadecimal.

El camí invers, de base b a base deu, consistix a desenvolupar el polinomi, i convé fer-ho amb el etèto de Horner — multiplicar per la base i sumar la xifra següent, començant per la més significativa — perquè estalvia potències i és el que implementa qualsevol rutina de conversió. Entre bases que són potències una d'altra, la conversió és directa per agrupament: tres bits equivalen a una xifra octal i quatre bits a una hexadecimal, perquè 8 = 2^3 i 16 = 2^4.

9.3. Binari, octal i hexadecimal: la base de la informació

La base 2 utilitza dos símbols i per això resulta idònia per representar informació amb dispositius físics: distingir amb fiabilitat dos estats —conduix o no conduix, magnetitzat en un sentit o en l'altre — és molt més robust davant del soroll que distingir deu nivells de tensió, i permet regenerar el senyal sense degradar-la. Cada xifra binària és un bit; vuit bits formen un byte, amb 2^8 = 256 valors; amb setze bits s'arriba a 2^{16} = 65.536 i amb trenta-dos, a 2^{32} = 4.294.967.296 valors, de 0 a 4.294.967.295. L'hexadecimal i l'octal s'utilitzen com taquigrafia humana del binari, no com a sistemes de la màquina.

La genealogia intel·lectual d'aquesta idea és notable. Gottfried Leibniz va publicar el 1703 la seva explicació de l'aritmètica binària, fascinat per l'economia d'una notació amb només dos signes. George Boole va formar al segle XIX una àlgebra de dos valors per al raonament lògic. I Claude Shannon, en la seva tesi de 1937, va mostrar que aquesta àlgebra descriu exactament el comportament dels circuits de commutació, unint per fi la lògica, el nombre i l'electricitat. Un segle abans de Shannon, Ada Lovelace havia comprès, en les seves anotacions a la màquina analítica de Babbage de 1843, que una màquina de calcular podia manipular símbols i no només quantitats, i va deixar escrit el que es considera el primer algorisme pensat per a una màquina, destinat a calcular els números de Bernoulli. En la mateixa línia d'allunyar l'ésser humà de l'escriptura directa en codi de màquina va treballar Grace Hopper, el compilador de 1952 va obrir el camí als llenguatges simbòlics.

Els errors de l'ascens en aquest bloc són característics i fàcils d'avançar: llegir INLINECODE 69 com a "mil onze" en comptes de lletrejar les xifres, oblidar indicar la base, o creure que canviar de base canvia el nombre i no només el seu nom. Un exercici que els corregix gairebé tots alhora consistix en escriure la mateixa quantitat en quatre bases i comprovar que les quatre representacions compten els mateixos objectes sobre la taula.

10. Aplicació didàctica i relació amb el currículum

Els continguts d'aquest tema es concentren en el [Crintoinum , que el currículum vigent situa en el centre de la competència matemàtica de tota l'educació secundària, i es perllonguen en el sentit de la mesura, el sentit algebraic i el pensament computacional. En primer i segon de l'E ESO viuen els sabers bàsics de divisibilitat —múltils, divisors, cosins, factorització, màxim comú divisor i mínim comú múltiple —, l'estimació i l'aproximació, i les primeres estratègies de càlcul mental. En tercer i quart, la potenciació, la notació científica i les ampliacions successives dels conjunts numèrics. En batxillerat reaparixen la inducció com a mètode de demostració, l'aritmètica modular i, en les matèries orientades a la tecnologia, els sistemes de numeració binari i hexadecimal. La numerabilitat i l'argument diagonal no formen part dels sabers obligatoris, però són un material excel·lent per a l'alumne amb alta capacitat i per a activitats d'aprofunció.

La transposició didàctica d'aquest tema exigix un ordre diferent al de l'exposició acadèmica. A l'aula no es comença per Peano: es comença pel problema i s'acaba, si de cas, en la formalització. Una seqüència que funciona part d'una situació amb sentit — repartir en grups iguals, sincronitzar dos fenòmens periòdics, comprimir un missatge — i arriba a l'eina matemàtica com a resposta a aquesta necessitat. Alguns exemples de situació d'aprenentatge que rendixen bé:

• La civilització inventada. Per equips es dissenya un sistema de numeració complet per a una cultura fictícia —base, símbols i regles — i després cada equip ha d'operar amb el d'un altre. L'activitat fa viure la diferència entre additiu i posicional i la necessitat del zero, i porta la seva pròpia avaluació: funciona o no funciona.
• El calendari i els engranatges. Sincronitzar dues rodes dentades de diferent nombre de dents o dos cicles de reg porta al mínim comú múltiple sense enunciar-lo prèviament, i permet treballar la sostenibilitat de l'ús de l'aigua amb dades reals de l'entorn del centre, lligant el bloc amb l'Objectiu de Desenvolupament Sostenible sobre aigua i consum responsable.
• Monsatges secrets. Un xifrat per desplaçament introduix l'aritmètica modular, i la conversa posterior sobre per què la criptografia real utilitza números primers enormes connecta el tema amb la seguretat digital que l'alumnat usa cada dia.

En avaluació, el tema admet instruments variats i no només la prova escrita: una rúbrica per a l'exposició del sistema de numeració inventat, un porfolio amb l'evolució de les demostracions per inducció, tasques d'anàlisi d'errors on l'alumnat corregix una demostració falsa i justifica on falla. Regeix un principi operatiu: el que s'avalua determina el que s'estudia, així que si es vol que l'alumnat raoni i no només calculi, alguna tasca ha de demanar que justifiqui un procediment — per què funciona el criteri del 9, per què acaba l'algorisme d'Euclides — i no només que l'apliqui.

La atenció a la diversitat troba aquí un terreny agraït. Els principis del disseny universal per a l'aprenentatge es materialitzen de forma gairebé literal: representació múltiple del matix contingut (blocs multibase i regletes per al valor posicional, recta numèrica per a l'ordre, taula de doble entrada per a la divisibilitat, full de càlcul per explorar patrons de cosins), múltiples formes d'expressió (manipulativa, gràfica, verbal, simbòlica) i diverses vies d'implicació, des del repte d'investigació fins al treball cooperatiu. L'alumne amb discalculia necessita suport específic i sostingut en la recuperació de fets numèrics i en el valor posicional, i es beneficia de material manipulatiu mantingut més temps de l'empleat, de calculadora per alliberar càrrega cognitiva quan l'objectiu no és el càlcul, i de plantilles amb les posicions marcades. A l'altre extrem, la infinititud dels cosins, els cosins de Mersenne o l'argument diagonal oferixen aprofundiment genuïna sense necessitat d'avançar continguts del curs següent.

La pela de gènere en aquest tema no es resol amb una efemèride. Es treballa quan va citar amb naturalitat Sophie Germain quan va parlar de cosins, l'Emmy Noether quan va parlar d'estructures, Julia Robinson quan va parlar de decidibilitat o hipatia en parlar de la transmissió de l'aritmètica antiga, en el matix to i amb el matix pes amb què es cita Euclides o Gauss. L'objectiu no és la quota sinó el referent: que l'alumne no construeixi la imatge que la matemàtica l'han fet només homes, perquè aquesta imatge té efectes mesurables en l'elecció d'alines en quart de l'E ESO i en batxillerat. Complementàriament, tenir cura del llenguatge, repartir de forma equilibrada els papers en el treball en equip i vigilar a qui es dirigixen les preguntes difícils són mesures d'aula tan importants com els referents històrics.

Finalment, el tema és una oportunitat per al pensar computacional : la garbell d'Eratóstons, l'algorisme d'Euclides i la conversió de base són algorismes en sentit estricte, amb entrada, eixida, finor i terminació demostrable, i es programen en poques línies o en un full de càlcul. Programar-los obliga a explicitar el procediment i fa visible una idea que travessa el tema sencer: que l'aritmètica que s'aprèn amb llapis i paper és, des de sempre, un conjunt d'algoritmes.

11. Conclusió

Els nombres naturals sostenen dues històries que aquest tema ha recorregut en paral·lel. La primera és la de la seva fonamentació: de la intuïció de comptar als cinc axiomes de Peano, d'aquests a les construccions conjuntistes que garantixen que existix un objecte que els satisfà, i de la inducció i la recursió a la definició rigorosa de les operacions, l'ordre i la divisibilitat. En el camí han aparegut els grans resultats de l'aritmització elemental —divisió euclídea, teorema fonamental de l'aritmètica, infinititat dels cosins, algorisme d'Euclides — i també els límits del propi edifici, amb la incompletitud de Gödel i la indecidibilitat del desè problema d'Hilbert. La segona història és la de la seva escriptura: de les musques als sistemes additius, d'aquests al valor posicional i al zero, i del zero a la base dos que sosté tota la tecnologia digital contemporània.

Ambdues històries convergixen a l'aula. Comprendre que un sistema de numeració és una tecnologia, i no una convenció neutra, explica per què els algorismes de càlcul són com són i per què un ordinador compta amb dos símbols. Comprendre que la inducció és una conseqüència d'un axioma, i no una acumulació de comprovacions, és donar el pas del càlcul a la demostració, que és exactament el salt que l'educació secundària ha de propiciar. Ensenyar bé aquest tema no és, per tant, despatxar un preliminar: és posar els fonaments sobre els quals s'aixeca tota la resta, i fer-ho amb el rigor, la mirada històrica i la sensibilitat didàctica que la matèria merix.

12. Bibliografia i referències

(a) Referències tècniques i científiques

• Dedekind, R. Què són i per a què servixen els números? Aliança Editorial. Text fundacional de la caracterització dels naturals i del teorema de recursió.
• Peano, G. Arithmetices principia, nova methode exposita (1889). Formulació original dels cinc axiomes.
• Landau, E. Foundations of Analysis. Chelsea. Construcció minuciosa dels sistemes numèrics des dels axiomes de Peano.
• Halmos, P.R. Teria intuïtiva de conjunts. Companyia Editorial Continental. Construcció de von Neumann, cardinals i ordinals.
• Niven, I.; Zuckerman, H. S.; Montgomery, H. L. An Introdution to the Theory of Numbers. Wiley. Divisibilitat, congruències i cosins.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introdution to the Theory of Numbers. Oxford University Press. Clàssic per a la distribució dels cosins.
• Ifrah, G. Història universal de les xifres. Espasa. Referència sobre els sistemes de numeració de totes les cultures.
• Boyer, C. B. Història de la matemàtica. Aliança Editorial. Context històric general del número i del càlcul.
• Kline, M. El pensament matemàtic de l'antiguitat als nostres dies Aliança Editorial.
• Gómez Alfonso, B. Numeració i càlcul. Síntesi. Didàctica del sistema de numeració decimal i dels algorismes.
• Gelman, R.; Gallistel, C. R. The Child's Understanding of Number. Harvard University Press. Els cinc principis del comptatge.
• Chamorro, M. C. (coord). Didàctica de les matemàtiques. Pearson. Transposició didàctica i errors de l'empleat.
• Knuth, Sr. E. The Art of Computer Programming, vol. 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley. Canvi de base i algorismes aritmètics.
• Shannon, C. E. A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits (1937). Enllaç entre l'àlgebra de dos valors i els circuits.
• Nagel, E.; Newman, J.R. El teorema de Gödel. Tecnos. Exposició accessible de la incompletitud.

(b) Recursos i webgrafia

• Projecte Descartes i Geogebra: applets de valor posicional, blocs multibase, garbell d'Entóstenes i algorisme d'Euclides.
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS): consulta de successions i famílies de cosins per a tasques d'investigació.
• Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS): computació distribuïda per a la recerca de cosins de Mersenne.
• Mac Tutor History of Mathematics Archive (Universitat de St Andrews): biografies documentades de Peano, Dedekind, Cantor, Germain, Noether, Robinson i Hipatia.
• Revistes de les societats de professorat de matemàtiques ( Suma, èpsilon, Nombres) seqüències didàctiques sobre divisibilitat i numeració.
• Entorns de programació en blocs i Python en línia: criviu, algoritme d'Euclides i conversió de base com a tasques de pensament computacional.

Orientacions per a l'estudi

• Memoritzi els incenc axiomes de Peano *en ordre i sàpiga explicar què es trenca en suprimir cadascun. El tribunal valora que es distingeixi la funció del tercer, del quart i del cinquè, no que es recetin. Tingueu a punt la idea que l'axioma d'inducció és el que expulsa els models amb elements inabastables.
• Dominiu la doble lectura de la inducció: com , tot el que es diu a la demostració i com a fonament del de recursió, que és el que legitima definir la suma i el producte. Gairebé ningú no menciona el teorema de recursió, i citar- lo d'una exposició immediata.
• Porteu preparades i escrites quatre demostracions curtes: la suma dels n primers naturals per inducció, la divisió euclídea a partir de la bona ordenació, la infinititud dels cosins i el teorema fonamental de la numeració. Són les que més es demanen i les quatre capen en poc espai.
• Practique fins a automatitzar el Algoritme d'Euclides amb la identitat de Bézout recorreguda cap enrere, i el Canvi de base per divisions successives amb la seva comprovació. Un error de càlcul en un compte elemental en un tema de números fa molt dany, així que comprovi sempre el resultat.
• Prepareu el argument diagonal de Cantor i el zigazag dels racionals, i sabreu enunciar amb precisió quina prova cadascú. És el contingut de major nivell del tema i causa molt bona impressió ben explicat; mal explicat, el contrari.
• No descodix el : n'hi ha prou amb cinc fites amb una idea distintiva de cadascú (elegipci additiu, babilònic sexagesimal sense zero, romà substractiu, maia vigesimal amb zero, indoàbig complet) i el paper decisiu del zero. Un paràgraf ben construït ret més que una llista de dates.
• Reparteix els errors típics de l'ascensor *per tot el desenvolupament, no en un bloc al final: la inducció com a comprovació de casos, el 1 com a cosí, la confusió entre màxim comú divisor i mínim comú múltiple, la resta més gran que el divisor, "hai més naturals que parells", llegir un nombre binari com si fos decimal. Són didàctica de primera i gairebé ningú els escriu.
• Citi a Germain, Noether, Robinson i Hipatia on correspon per la seva contribució, amb la mateixa naturalitat amb què cita Euclides o Gauss, i no en un apartat a part. La naturalitat és just el que es valora.
• Reserveu espai i temps per a la aplicació didàctica: almenys una situació d'aprenentatge descrita amb la seva tasca, els seus materials i la seva forma d'avaluar. Un tema de números impecable en el matemàtic i mut en l' didàctic es queda en notable.
• Vigileu el departament del temps. El bloc de fonamentació tendix a menjar- se l'exposició: si a meitat de temps no ha arribat a la divisibilitat, no arribarà als sistemes de numeració, que són la meitat del títol del tema i per tant la meitat del que s'espera sentir.