Tema 1. Números naturales. Sistemas de numeración.

Índice

1. Introducción
2. La construcción axiomática: los axiomas de Peano
3. La construcción conjuntista: cardinal y ordinal
4. Inducción, recursión y definición de las operaciones
5. Orden, buena ordenación y estructura algebraica
6. Divisibilidad, números primos y algoritmo de Euclides
7. El infinito de los naturales: cardinalidad y numerabilidad
8. Los sistemas de numeración: tipología y recorrido histórico
9. El valor posicional: teorema fundamental de la numeración y cambio de base
10. Aplicación didáctica y relación con el currículo
11. Conclusión
12. Bibliografía y referencias

1. Introducción

Contar es, con casi toda seguridad, la primera actividad propiamente matemática de la humanidad. Los huesos con muescas agrupadas hallados en yacimientos de hace más de veinte mil años, como el peroné de Ishango, muestran que la necesidad de registrar cantidades precede en milenios a la escritura. Y contar es también lo primero que hace un niño pequeño con las matemáticas, mucho antes de pisar un aula. Esa doble condición de objeto primitivo y objeto cotidiano ha alimentado una ilusión persistente: la de que los números naturales son sencillos. No lo son. Preguntarse con rigor qué es el número tres puso en marcha, a finales del siglo XIX, la refundación completa de los fundamentos de la matemática, y de aquella pregunta salieron la teoría de conjuntos, la lógica matemática moderna y buena parte de la informática teórica. Leopold Kronecker lo resumió con una frase famosa: los números naturales los hizo Dios y todo lo demás es obra del hombre.

Este tema responde a dos preguntas complementarias que un profesor de Matemáticas debe dominar con solvencia. La primera es qué son los naturales: cómo se construyen sin apoyarse en la intuición, qué propiedades los caracterizan de manera unívoca, cómo se definen a partir de la nada la suma y el producto, en qué sentido preciso el conjunto que forman es infinito. La segunda es cómo se escriben: qué sistemas ha inventado la humanidad para nombrar y manipular cantidades, qué separa un sistema aditivo de uno posicional, por qué el valor de posición y la invención del cero constituyen una de las mayores revoluciones intelectuales de la historia, y por qué la base dos es hoy el lenguaje interno de toda la tecnología digital.

Las dos preguntas están más unidas de lo que parece. Un sistema de numeración no es una notación arbitraria pegada por encima de los números: es un algoritmo comprimido. Escribir una cantidad en base diez es factorizarla en potencias de diez, y de esa factorización dependen los algoritmos de cálculo que se enseñan en primaria y, siglos después, la arquitectura de un procesador. Quien entiende el teorema fundamental de la numeración entiende a la vez por qué «llevamos una» al sumar y por qué un ordenador usa dos símbolos.

No es casual que este sea el primer tema del temario. Los contenidos que aquí se tratan pertenecen de lleno al sentido numérico, el bloque con el que el currículo vigente abre la competencia matemática en toda la educación secundaria, y son condición previa del sentido de la medida, del sentido algebraico y del pensamiento computacional. El desarrollo que sigue entrelaza tres miradas: la fundacional, que levanta el edificio desde la axiomática de Peano y las construcciones conjuntistas; la aritmética, que despliega operaciones, orden, divisibilidad y cardinalidad; y la histórica y didáctica, que recorre una historia profundamente intercultural y sitúa cada bloque en el aula, con sus errores típicos, sus materiales y sus formas de evaluar.

2. La construcción axiomática: los axiomas de Peano

2.1. De la intuición al axioma

Durante milenios los naturales se usaron sin definirse. La aritmética funcionaba, y eso bastaba. La crisis llegó cuando el análisis del siglo XIX, empeñado en fundamentar el continuo, se dio cuenta de que todo el edificio descansaba en un cimiento que nadie había examinado. Richard Dedekind, en ¿Qué son y para qué sirven los números? (1888), y Giuseppe Peano, en Arithmetices principia (1889), dieron la respuesta que sigue vigente: no se define qué es un número, sino que se caracteriza el sistema entero mediante axiomas, y se demuestra que ese sistema es esencialmente único.

El método axiomático parte de tres términos primitivos —un conjunto \mathbb{N}, un elemento distinguido 0 y una función sucesor s— que no se definen, sino que se regulan por sus propiedades. Los axiomas son cinco:

• (P1) 0 \in \mathbb{N}.
• (P2) Si n \in \mathbb{N}, entonces s(n) \in \mathbb{N}.
• (P3) No existe ningún n \in \mathbb{N} tal que s(n) = 0; es decir, 0 no es sucesor de nadie.
• (P4) La función sucesor es inyectiva: si s(m) = s(n), entonces m = n.
• (P5) Axioma de inducción. Si un subconjunto S \subseteq \mathbb{N} cumple que 0 \in S y que n \in S implica s(n) \in S, entonces S = \mathbb{N}.

Que el primer elemento sea el 0 o el 1 es una convención sin consecuencias matemáticas: Peano arrancaba en 1 y hoy la práctica mayoritaria, sobre todo en teoría de conjuntos y en informática, arranca en 0. Lo que sí conviene tener claro es que la elección afecta a enunciados posteriores —el 0 es divisible por todo número, no tiene inverso multiplicativo y es el neutro de la suma— y que el alumnado la percibe como un capricho si no se le explica.

2.2. La función de cada axioma

La fuerza de una axiomática se aprecia quitando piezas y viendo qué se rompe. Si se suprime (P3), nada impide que la cadena se cierre sobre sí misma: el conjunto de restos módulo cinco, con el sucesor «sumar uno y volver a empezar», cumple todos los demás axiomas y no es \mathbb{N}. Si se suprime (P4), dos números distintos pueden tener el mismo sucesor y la cadena se pliega, con lo que se pierde la posibilidad de restar sin ambigüedad. Y si se suprime (P5), aparecen los modelos con intrusos: basta tomar la cadena habitual y añadirle, aparte, una copia entera de los enteros que nadie alcanza desde el 0 por sucesiones finitas. Ese objeto satisface los cuatro primeros axiomas y no es el conjunto de los naturales.

Figura 1. El axioma de inducción es el que expulsa los modelos con elementos inalcanzables desde el cero.

Ese quinto axioma es, por tanto, el que da identidad a \mathbb{N}: afirma que el conjunto no contiene nada más que lo que el sucesor genera a partir del 0. Dedekind demostró además el resultado que corona la construcción: cualquier par de sistemas que satisfagan los cinco axiomas son isomorfos, es decir, existe una biyección entre ellos que respeta el cero y el sucesor. La axiomática es categórica y, en ese sentido preciso, «los» números naturales son únicos salvo el nombre de sus elementos.

Conviene matizar un punto que un tribunal agradece: la categoricidad exige leer (P5) como un axioma de segundo orden, cuantificando sobre todos los subconjuntos de \mathbb{N}. Si se formaliza la aritmética en lógica de primer orden, la inducción se convierte en un esquema con infinitos casos, uno por cada fórmula expresable en el lenguaje, y entonces aparecen modelos no isomorfos al estándar: son los modelos no estándar de la aritmética. En ese mismo terreno se sitúa el teorema de incompletitud que Kurt Gödel probó en 1931: ningún sistema formal consistente y recursivamente axiomatizable que contenga la aritmética puede demostrar todas las verdades sobre los naturales. El objeto más elemental de la matemática resulta ser inagotable.

En el aula, la lectura útil de todo esto es doble. Primero, que la inducción no es comprobar muchos casos: es el error más extendido, y conviene combatirlo con contraejemplos como el polinomio n^2 + n + 41, que produce números primos para los cuarenta primeros valores de n y falla en n = 40. Segundo, que un axioma no es una verdad evidente sino una regla de juego explícita, idea que en cuarto de la ESO y en bachillerato permite presentar la matemática como construcción y no como catálogo.

3. La construcción conjuntista: cardinal y ordinal

Los axiomas caracterizan a \mathbb{N}, pero no garantizan que exista algún objeto que los cumpla. Construir un modelo dentro de la teoría de conjuntos cierra esa laguna, y hay dos caminos clásicos que corresponden a las dos caras del número.

3.1. La vía cardinal: Frege y Russell

Gottlob Frege y, más tarde, Bertrand Russell partieron de la pregunta «¿qué tienen en común todos los conjuntos de tres elementos?». La respuesta es la equipotencia: dos conjuntos A y B son equipotentes si existe una biyección entre ellos. La equipotencia es una relación de equivalencia, y un número cardinal se define como la clase de todos los conjuntos equipotentes entre sí. El tres sería, así, lo que comparten todos los tríos del universo.

La idea es intuitivamente perfecta y técnicamente problemática: esas clases son demasiado grandes para ser conjuntos, y admitirlas conduce a la paradoja que el propio Russell comunicó a Frege en 1902. La teoría axiomática de conjuntos resolvió el asunto eligiendo un representante canónico de cada clase en lugar de la clase entera, que es justo lo que hace la vía ordinal.

3.2. La vía ordinal: von Neumann

John von Neumann propuso identificar cada natural con el conjunto de sus predecesores:

de donde resulta 1 = \{\varnothing\}, 2 = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} y, en general, n = \{0, 1, 2, \dots, n-1\}. La definición tiene dos virtudes notables. Por un lado, cada número tiene exactamente n elementos, con lo que su cardinal coincide con él mismo. Por otro, el orden se vuelve gratuito: m < n equivale a m \in n.

Figura 2. Los naturales de von Neumann: el cardinal de cada número coincide con el propio número.

Que exista un conjunto que contenga a todos ellos no se deduce de la construcción: hace falta postularlo, y ese es el papel del axioma de infinitud de la teoría de conjuntos. Con él, el menor conjunto que contiene al vacío y es cerrado por la operación sucesor es precisamente \mathbb{N}, y se comprueba sin dificultad que satisface los cinco axiomas de Peano. El círculo queda cerrado: la axiomática dice cómo se comportan los naturales y la construcción demuestra que hay algo que se comporta así.

3.3. Las dos caras del número y su lectura en el aula

De aquí sale una distinción que atraviesa toda la enseñanza de la aritmética. El cardinal responde a «¿cuántos hay?» y es invariante frente al orden en que se cuente; el ordinal responde a «¿en qué lugar está?» y depende de la disposición. Los cinco principios del conteo descritos por Rochel Gelman y Charles Gallistel —correspondencia uno a uno, orden estable, cardinalidad, abstracción e irrelevancia del orden— describen justamente cómo se articulan ambas caras cuando un niño aprende a contar.

Aunque el conteo se consolide en la etapa anterior, sus lagunas llegan a secundaria: alumnado que responde recitando la serie entera en lugar de dar el último término como cardinal, o que no acepta que contar de derecha a izquierda dé el mismo resultado. Y hay una confusión de mayor calado, propia ya de secundaria: la que se da entre el número como medida de tamaño y el número como posición, y que reaparece con toda su fuerza en el tratamiento del infinito de la sección 7 y en la lectura de escalas y percentiles. Nombrar la distinción con ejemplos sencillos —el dorsal de un corredor es un ordinal disfrazado, y sumarlos no significa nada— previene errores posteriores.

4. Inducción, recursión y definición de las operaciones

4.1. El principio de inducción y sus variantes

Convertido en método de demostración, el quinto axioma dice: si una propiedad P cumple P(0) y cumple que P(n) implica P(n+1) para todo n, entonces P(n) es cierta para todo natural. Las dos piezas son igual de necesarias. Sin caso base la cadena no arranca, aunque el paso inductivo sea impecable: la propiedad «n = n+1» satisface el paso inductivo y es falsa siempre. Sin paso inductivo no hay propagación.

Figura 3. Las dos piezas de una demostración por inducción y qué ocurre si falta alguna.

Existen variantes de uso constante. La inducción desde k prueba la propiedad solo a partir de un cierto valor, útil cuando el enunciado falla en los primeros casos, como en 2^n > n^2, cierta a partir de n = 5. La inducción fuerte o completa permite suponer la propiedad para todos los valores menores que n al probarla para n; es la forma adecuada cuando el paso no se apoya en el inmediato anterior, como ocurre al demostrar que todo natural mayor que uno tiene un divisor primo. Ambas variantes son equivalentes al principio original.

Como ejemplo canónico, la suma de los n primeros naturales positivos:

Para n = 1 ambos miembros valen 1. Supuesta cierta para n, sumando n+1 a los dos lados se obtiene \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}, que es el enunciado para n+1. Merece la pena contrastar esta prueba con el argumento visual de emparejar el primero con el último —el que la tradición atribuye a Gauss— porque la comparación deja ver qué añade el rigor: la inducción certifica la fórmula para todo n, mientras que el emparejamiento convence pero exige cuidado con la paridad.

Un ejercicio didáctico de gran rendimiento es la falacia clásica de que «todos los caballos son del mismo color», donde el paso inductivo se rompe al pasar de uno a dos ejemplares porque los conjuntos que se solapan dejan de solaparse. Analizar dónde falla enseña más sobre el método que diez demostraciones correctas.

4.2. El teorema de recursión

La inducción sirve para demostrar. Para definir hace falta un resultado gemelo que, sorprendentemente, se olvida casi siempre: el teorema de recursión de Dedekind. Su enunciado es que, dados un conjunto A, un elemento a \in A y una función g : A \to A, existe una única función f : \mathbb{N} \to A tal que

Es este teorema, y no el axioma de inducción por sí solo, el que legitima las definiciones recursivas. Sin él, escribir «se define f por f(0)=a y f(n+1)=g(f(n))» sería una petición de principio: no sabríamos que ese objeto existe ni que está determinado sin ambigüedad.

4.3. Suma, producto y potencia

Con el teorema de recursión, las operaciones se construyen sin dar nada por supuesto. La suma se define fijando el primer sumando y recorriendo el segundo:

El producto se define sobre la suma ya construida, y la potencia sobre el producto:

La jerarquía es transparente: sumar es iterar el sucesor, multiplicar es iterar la suma, elevar es iterar el producto. Esta lectura, expuesta en el aula, ordena de golpe una jerarquía que muchos alumnos manejan sin comprender, y explica de paso convenios que suelen presentarse como arbitrarios, como que m^{0} = 1 sea el neutro del producto igual que m \cdot 0 = 0 es el neutro de la suma.

Todas las propiedades algebraicas se demuestran después por inducción, y ninguna es gratuita. La asociatividad de la suma se prueba por inducción sobre el tercer sumando; la conmutatividad exige dos lemas previos (0 + n = n y s(m) + n = s(m+n)) y es un ejercicio excelente para mostrar que lo «obvio» tiene coste. Hermann Grassmann ya había dado estas definiciones recursivas en 1861, casi tres décadas antes que Peano, en un libro de texto escolar que pasó casi inadvertido.

5. Orden, buena ordenación y estructura algebraica

5.1. La estructura algebraica de los naturales

Con la suma y el producto, \mathbb{N} es un semianillo conmutativo con unidad: ambas operaciones son asociativas y conmutativas, tienen elemento neutro (0 y 1 respectivamente) y el producto distribuye sobre la suma. Además ambas son cancelativas: de a + c = b + c se sigue a = b, y de a c = b c con c \neq 0 se sigue a = b.

Lo interesante es lo que falta. No hay opuestos, de modo que (\mathbb{N}, +) es un monoide y no un grupo, y la resta solo está definida cuando el minuendo no es menor que el sustraendo. No hay inversos multiplicativos salvo para el 1, y la división exacta solo funciona a veces. Esas dos carencias son el motor de las ampliaciones sucesivas del concepto de número: \mathbb{Z} nace de exigir opuestos y \mathbb{Q} de exigir inversos. Presentar así las ampliaciones —cada conjunto numérico como la respuesta a una ecuación que en el anterior no tenía solución, x + 3 = 1 para \mathbb{Z}, 3x = 1 para \mathbb{Q}, x^2 = 2 para \mathbb{R}— es la mejor transposición didáctica disponible en primero y segundo de la ESO, y evita que el alumnado viva cada ampliación como una regla nueva caída del cielo.

Esta manera de mirar, que atiende a la estructura común y no a la naturaleza de los objetos, es la que Emmy Noether convirtió en método a partir de los años veinte del siglo pasado y la que hoy vertebra el álgebra: lo que importa de \mathbb{N} no es de qué están hechos sus elementos, sino qué operaciones admiten y qué propiedades tienen.

5.2. El orden y la tricotomía

El orden se define a partir de la suma: a \le b si y solo si existe c \in \mathbb{N} con a + c = b. Se comprueba que es una relación de orden total, compatible con las operaciones (a \le b implica a + c \le b + c y ac \le bc), y que cumple la tricotomía: dados a y b, se verifica exactamente una de las tres relaciones a < b, a = b, a > b. La equivalencia entre esta definición y la conjuntista de von Neumann (m < n si m \in n) es un buen ejercicio de coherencia entre las dos construcciones.

5.3. La buena ordenación y la división euclídea

La propiedad más potente del orden de \mathbb{N} es la buena ordenación: todo subconjunto no vacío de \mathbb{N} tiene mínimo. No es una curiosidad; es equivalente al principio de inducción y, en la práctica, la herramienta con la que se demuestran los teoremas de la aritmética. Su versión operativa es el principio del descenso infinito de Fermat: no existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de naturales, de modo que un proceso que hace decrecer un natural en cada paso termina forzosamente. Esa es la razón última de que el algoritmo de Euclides pare, y de que los algoritmos recursivos con un argumento natural decreciente no se cuelguen.

De la buena ordenación sale el teorema clave de toda la aritmética elemental:

Teorema (división euclídea). Dados a \in \mathbb{N} y b \in \mathbb{N} con b \ge 1, existen unos únicos q, r \in \mathbb{N} tales que a = bq + r con 0 \le r < b.

La demostración es breve y conviene tenerla preparada. Para la existencia, se considera el conjunto R = \{a - bk : k \in \mathbb{N}, \ bk \le a\}, que no es vacío porque contiene a a (tomando k = 0). Por buena ordenación tiene un mínimo r = a - bq. Si fuera r \ge b, entonces r - b = a - b(q+1) pertenecería a R y sería menor que r, contra la minimalidad; luego r < b. Para la unicidad, si a = bq + r = bq' + r' con ambos restos en [0, b), restando se obtiene b(q - q') = r' - r; el miembro derecho tiene valor absoluto menor que b y el izquierdo es múltiplo de b, así que ambos son cero. El cociente es q = [a/b], la parte entera del cociente.

Los errores del alumnado en este punto son sistemáticos y merecen atención: aceptar restos iguales o mayores que el divisor, dar por hecho que el resto de dividir entre b puede ser negativo, o no reconocer la división euclídea detrás del algoritmo escrito que llevan practicando desde primaria. Volver sobre el algoritmo de la división en secundaria, ahora con el teorema delante, convierte una rutina mecánica en un resultado comprendido.

6. Divisibilidad, números primos y algoritmo de Euclides

6.1. La relación de divisibilidad

Se dice que b divide a a, y se escribe b \mid a, si existe c \in \mathbb{N} con a = bc; es decir, si el resto de la división euclídea es cero. En \mathbb{N} la divisibilidad es reflexiva, transitiva y antisimétrica, de modo que constituye una relación de orden parcial —no total, porque ni 2 \mid 3 ni 3 \mid 2— cuyo mínimo es el 1, que divide a todos, y cuyo máximo es el 0, al que todos dividen. Este último hecho sorprende a menudo: 0 = b \cdot 0 para cualquier b, así que todo número divide a cero, aunque no se pueda dividir entre cero.

6.2. Números primos y teorema fundamental de la aritmética

Un natural p > 1 es primo si sus únicos divisores son 1 y él mismo; si tiene otros, es compuesto. El 1 no es primo ni compuesto, y la razón no es caprichosa: si lo fuera, la factorización dejaría de ser única, porque podríamos añadir cuantos unos quisiéramos. La criba de Eratóstenes, del siglo III antes de nuestra era, sigue siendo el procedimiento elemental para obtenerlos, y basta tachar los múltiplos de los primos que no superan \sqrt{n}, porque todo compuesto menor o igual que n tiene un factor primo por debajo de esa raíz.

Figura 4. Criba de Eratóstenes hasta cincuenta y el criterio de parada en la raíz cuadrada.

Teorema fundamental de la aritmética. Todo natural mayor que 1 se escribe como producto de primos, y esa escritura es única salvo el orden de los factores.

La existencia se prueba por inducción fuerte: si n es primo, ya está; si es compuesto, n = ab con 1 < a, b < n, y por hipótesis de inducción a y b se factorizan, luego n también. La unicidad descansa en el lema de Euclides: si un primo p divide a un producto ab, entonces divide a a o divide a b. Con él, comparando dos factorizaciones y cancelando primos comunes uno a uno, se llega a que ambas coinciden. Conviene subrayar que la unicidad no es un regalo: en otros sistemas numéricos falla, y sin ella no habría fracciones irreducibles, ni mínimo común denominador, ni criterios de divisibilidad.

En la escritura habitual se agrupan los factores repetidos:

de donde salen resultados prácticos que el alumnado usa sin saber de dónde vienen: el número de divisores de n es (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\cdots(\alpha_k + 1), porque cada divisor se forma eligiendo el exponente de cada primo entre 0 y \alpha_i.

Las familias particulares de primos han impulsado buena parte de la teoría de números. Los primos de Mersenne, de la forma 2^p - 1, sostienen la búsqueda computacional de primos gigantes; los primos de Sophie Germain son aquellos p tales que 2p+1 también es primo, y deben su nombre a que Germain los usó a comienzos del siglo XIX para demostrar el primer caso del último teorema de Fermat para esos exponentes, en un trabajo que tuvo que firmar inicialmente con nombre masculino para que se le tomara en serio.

6.3. La infinitud de los primos

La demostración de Euclides es una de las joyas de la matemática y cabe en cinco líneas, así que hay que llevarla preparada. Supongamos que solo hubiera un número finito de primos, p_1, p_2, \dots, p_k. Considérese

Como N > 1, tiene algún divisor primo, que por hipótesis debe ser alguno de los p_i. Pero ese p_i divide también al producto p_1 p_2 \cdots p_k, luego dividiría a la diferencia, que es 1: imposible. Por tanto hay infinitos primos. Merece señalarse un matiz que se malinterpreta a menudo: el número N construido no tiene por qué ser primo; lo único que se afirma es que su factor primo escapa a la lista.

La distribución de los primos, en cambio, es todo lo contrario de sencilla. El teorema de los números primos, demostrado en 1896 por Hadamard y de la Vallée Poussin, afirma que la cantidad de primos menores o iguales que x se comporta asintóticamente como x / \ln x: los primos se van espaciando, pero nunca se agotan. Y la conjetura de los primos gemelos o la hipótesis de Riemann siguen abiertas, lo que convierte a este bloque en un ejemplo inmejorable de que la matemática es una ciencia viva, mensaje de gran valor motivador en cuarto de la ESO y en bachillerato.

6.4. Máximo común divisor, mínimo común múltiplo y algoritmo de Euclides

El máximo común divisor \operatorname{mcd}(a,b) es el mayor de los divisores comunes; el mínimo común múltiplo \operatorname{mcm}(a,b), el menor de los múltiplos comunes positivos. Con la factorización, el primero toma cada primo común con el menor exponente y el segundo cada primo presente con el mayor, de donde sale la identidad

Ahora bien, factorizar es caro: la seguridad de la criptografía de clave pública se apoya justamente en esa dificultad. Por eso el procedimiento eficaz es el algoritmo de Euclides, que solo usa divisiones y descansa en la identidad \operatorname{mcd}(a,b) = \operatorname{mcd}(b, r), donde r es el resto de dividir a entre b. Como los restos decrecen estrictamente, la buena ordenación garantiza que el proceso termina, y el último resto no nulo es el máximo común divisor.

Figura 5. El algoritmo de Euclides y la identidad de Bézout asociada.

Recorriendo hacia atrás las igualdades del algoritmo se obtiene la identidad de Bézout: para a y b no ambos nulos existen enteros u y v —enteros, no naturales, porque uno de los dos coeficientes será negativo— tales que au + bv = \operatorname{mcd}(a,b). De ella se deduce el lema de Euclides que sostenía la unicidad de la factorización, con lo que el edificio se cierra sobre sí mismo, y de ella salen también los inversos modulares que usan los sistemas criptográficos actuales.

6.5. Criterios de divisibilidad y congruencias

Los criterios que el alumnado memoriza en primaria tienen una explicación de una línea si se dispone del lenguaje de las congruencias. Como 10 \equiv 1 \pmod 9, se tiene 10^k \equiv 1 para todo k, y por tanto todo número es congruente módulo nueve con la suma de sus cifras: de ahí los criterios del 3 y del 9. Como 10 \equiv -1 \pmod{11}, las potencias alternan signo y el criterio del 11 compara la suma de las cifras de lugar par con la de lugar impar. Los criterios del 2, del 5 y del 10 solo miran las últimas cifras porque las potencias de diez desde 10^1 son múltiplos de esos números.

La consecuencia didáctica es de primer orden: los criterios de divisibilidad dependen de la base. En base doce, por ejemplo, el criterio sencillo sería el del 11, y no el del 9. Mostrarlo desmonta la idea de que las reglas de la aritmética son verdades absolutas y no consecuencias de una notación, y conecta directamente con la sección 9.

Como cierre de alto nivel para este bloque, conviene tener a mano el décimo problema de Hilbert, que pedía un algoritmo para decidir si una ecuación polinómica con coeficientes enteros tiene solución en enteros. La respuesta llegó en 1970 y fue negativa: no existe tal algoritmo. El resultado se conoce como teorema de Matiyasévich, aunque descansa sobre el trabajo previo de Julia Robinson, Martin Davis y Hilary Putnam, y en particular sobre la hipótesis de Robinson, la pieza que Yuri Matiyasévich logró probar. Hay preguntas sobre los naturales que ninguna máquina podrá responder.

7. El infinito de los naturales: cardinalidad y numerabilidad

Que \mathbb{N} es infinito se sigue de los axiomas: si fuera finito, el sucesor no podría ser inyectivo sin repetir valores. Pero decir «infinito» sin más es impreciso, y precisar qué significa fue la gran aportación de Georg Cantor en el último cuarto del siglo XIX.

La clave es sustituir el conteo por la biyección: dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una correspondencia biunívoca entre ellos. Aplicado a conjuntos infinitos, el criterio produce resultados que chocan de frente con la intuición. La correspondencia n \mapsto 2n empareja cada natural con un par, de modo que hay tantos pares como naturales pese a que los pares son una parte propia. Galileo ya se había topado con la paradoja con los cuadrados perfectos en 1638 y la había considerado un motivo para no hablar de tamaños infinitos; Dedekind hizo lo contrario y convirtió la anomalía en definición: un conjunto es infinito precisamente cuando es equipotente a una parte propia de sí mismo.

Un conjunto se llama numerable cuando puede ponerse en biyección con \mathbb{N}, es decir, cuando sus elementos se pueden listar en una sucesión sin dejarse ninguno. Su cardinal se denota \aleph_0. Son numerables el conjunto de los enteros, ordenándolos 0, 1, -1, 2, -2, \dots, y también \mathbb{Q}, mediante el recorrido en zigzag de la tabla de fracciones.

Figura 6. El zigzag de Cantor: recorrer la tabla por diagonales prueba que los racionales son numerables.

El contrapunto llega con el argumento diagonal, publicado por Cantor en 1891: el conjunto de los números reales no es numerable. Supóngase dada una lista que pretenda contener todos los reales del intervalo [0,1] escritos en decimal. Se construye entonces un número nuevo cuya primera cifra decimal difiera de la primera cifra del primer número de la lista, cuya segunda difiera de la segunda del segundo, y así sucesivamente (evitando el 0 y el 9 para esquivar las ambigüedades de las representaciones periódicas). El número resultante está en el intervalo y no coincide con ninguno de la lista, porque difiere de cada uno en al menos una posición. Luego ninguna lista los agota: hay infinitos de tamaños distintos, y \mathbb{R} tiene un cardinal estrictamente mayor que \aleph_0.

Esta sección tiene una carga didáctica considerable. El infinito es el terreno donde las intuiciones del alumnado fallan de manera más previsible: se afirma que «hay el doble de naturales que de pares», que «infinito más uno es más que infinito» o que \mathbb{Q} debe ser mayor que \mathbb{N} porque entre dos racionales cualesquiera hay infinitos más. La imagen del hotel de Hilbert —un hotel con infinitas habitaciones ocupadas que aun así puede alojar a un huésped más, o a infinitos— es un recurso probado para primero de bachillerato: no demuestra nada por sí sola, pero desbloquea la idea de que con lo infinito el criterio válido es el emparejamiento, no la inclusión.

8. Los sistemas de numeración: tipología y recorrido histórico

8.1. Qué es un sistema de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos junto con un conjunto de reglas que permiten representar todos los números de forma unívoca y, si el sistema es bueno, económica y operativa. Conviene distinguir con nitidez el número, que es el objeto matemático, del numeral, que es su nombre escrito: el cinco es el mismo objeto tanto si se escribe V, 101 o con cinco muescas, y esa distinción, obvia para el docente, no lo es para un alumno de primero de la ESO.

Históricamente, cuatro principios se combinan en distintas proporciones. El aditivo suma los valores de los símbolos presentes. El sustractivo resta el valor de un símbolo cuando precede a otro mayor. El multiplicativo usa un símbolo como cuantificador de otro. Y el posicional, el más potente, hace depender el valor de cada símbolo del lugar que ocupa.

Figura 7. Tipología de los sistemas de numeración según el principio dominante.

8.2. Los sistemas aditivos

El egipcio jeroglífico, hacia el 3000 antes de nuestra era, es aditivo puro en base diez: un símbolo distinto para cada potencia —trazo, asa, cuerda enrollada, flor de loto— repetido tantas veces como haga falta. Es fácil de leer y desastroso para calcular, y exige inventar un símbolo nuevo cada vez que se sube un orden de magnitud. El ático griego funcionaba igual con las iniciales de los nombres de los números; el jónico posterior sustituyó las repeticiones por las veintisiete letras del alfabeto, ganando concisión a costa de confundir letras y cifras.

El romano añade el principio sustractivo, pero sigue siendo aditivo en lo esencial. Comparar el producto de XLVII por XXIII con el de 47 por 23 es una actividad de aula insuperable: no hay mejor manera de que el alumnado descubra que un sistema de numeración es una tecnología y que la eficacia del cálculo escrito depende de ella. Que los romanos calcularan con ábaco y no por escrito deja de ser anécdota para convertirse en consecuencia necesaria.

8.3. Los sistemas posicionales antiguos

El primer sistema posicional documentado es el babilónico, en torno al 2000 antes de nuestra era, y es sexagesimal: base sesenta con una subestructura decimal para las cifras. Escogieron sesenta, con toda probabilidad, por su riqueza de divisores —doce en total—, lo que facilita repartos y fracciones. La elección ha resultado ser la más longeva de la historia: seguimos midiendo el tiempo y los ángulos en base sesenta. Su gran carencia inicial fue no disponer de cero, lo que hacía ambigua la escritura; solo en época tardía introdujeron un signo separador, y nunca lo usaron al final de un numeral.

La cultura maya desarrolló, de forma completamente independiente, un sistema posicional vigesimal con un símbolo propio para el cero, representado por una concha, mucho antes de que la idea llegara a Europa. Su cuenta larga calendárica introduce una irregularidad reveladora: la segunda posición no vale 20 \times 20 sino 18 \times 20, para ajustar el sistema al año de trescientos sesenta días. Es un ejemplo excelente de que la notación se pliega a la función.

8.4. La síntesis indoarábiga y el papel del cero

El sistema que hoy usamos se gesta en la India entre los siglos V y VII: base diez, diez cifras distintas, valor posicional y, sobre todo, un cero de pleno derecho, que no es solo un hueco sino un número con el que se opera. Brahmagupta, hacia el año 628, formuló por escrito las reglas de cálculo con el cero y con las cantidades negativas, incluida la advertencia sobre la división entre cero. La transmisión hacia occidente pasó por el mundo islámico —el tratado de al-Juarismi sobre el cálculo con cifras indias, de cuyo nombre latinizado procede la palabra algoritmo— y desembarcó en Europa con el Liber abaci de Leonardo de Pisa, Fibonacci, en 1202. La sustitución tardó tres siglos, con resistencias notables de los gremios de calculistas, hasta que la imprenta y la contabilidad mercantil zanjaron la cuestión.

Merece la pena situar aquí a Hipatia de Alejandría, que en el siglo IV encabezó la escuela neoplatónica de la ciudad y elaboró comentarios a la Aritmética de Diofanto y a las Cónicas de Apolonio, además de trabajos sobre tablas astronómicas de cálculo. Su labor pertenece a la misma tradición de transmisión y depuración de textos que hizo posible que la aritmética griega llegara al mundo islámico y, desde allí, de vuelta a Europa junto con las cifras indias.

Este recorrido no es un adorno erudito. La historia de la numeración es radicalmente intercultural: lo que usamos a diario es una construcción colectiva india, árabe, babilónica, griega y europea, y presentarlo así en el aula es una vía natural para trabajar la valoración de la diversidad cultural. En un centro con alumnado de procedencias diversas, pedir que cada cual investigue cómo se nombran y escriben los números en la lengua de su familia convierte esa diversidad en material matemático y no en un mero decorado.

9. El valor posicional: teorema fundamental de la numeración y cambio de base

9.1. El teorema fundamental de la numeración

Toda la potencia del sistema posicional se condensa en un teorema que conviene enunciar con precisión.

Teorema fundamental de la numeración. Sea b \in \mathbb{N} con b \ge 2. Todo natural N \ge 1 se escribe de forma única como

con 0 \le a_i < b para todo i y a_k \ne 0.

La existencia se demuestra por inducción fuerte aplicando la división euclídea: al dividir N entre b se obtiene N = bq + a_0 con 0 \le a_0 < b; si q = 0 hemos terminado, y si no, q < N y la hipótesis de inducción le proporciona su desarrollo, que multiplicado por b y sumado a_0 da el de N. La unicidad se sigue de la unicidad del cociente y el resto en cada paso. La demostración es la que un tribunal espera oír, y tiene la virtud de que contiene el algoritmo: la prueba y el método de conversión son la misma cosa.

De aquí salen varias consecuencias inmediatas. El sistema necesita exactamente b símbolos, uno por cada resto posible, y entre ellos ha de figurar el cero para marcar las posiciones vacías. La cantidad de cifras de N en base b es [\log_b N] + 1: cuanto menor es la base, más largo es el numeral, que es la razón de que un número modesto en decimal se convierta en una ristra de unos y ceros en binario. Y con n posiciones se representan exactamente b^n valores distintos, de 0 a b^n - 1.

9.2. El cambio de base

Para pasar de base diez a base b se aplica el algoritmo que la demostración regala: divisiones sucesivas entre b, guardando los restos, hasta llegar a cociente cero; el numeral se lee tomando los restos en orden inverso.

Figura 8. Conversión por divisiones sucesivas y agrupamiento de bits para leer el hexadecimal.

El camino inverso, de base b a base diez, consiste en desarrollar el polinomio, y conviene hacerlo con el método de Horner —multiplicar por la base y sumar la cifra siguiente, empezando por la más significativa— porque ahorra potencias y es el que implementa cualquier rutina de conversión. Entre bases que son potencias una de otra, la conversión es directa por agrupamiento: tres bits equivalen a una cifra octal y cuatro bits a una hexadecimal, porque 8 = 2^3 y 16 = 2^4.

9.3. Binario, octal y hexadecimal: la base de la información

La base dos utiliza dos símbolos y por eso resulta idónea para representar información con dispositivos físicos: distinguir con fiabilidad dos estados —conduce o no conduce, magnetizado en un sentido o en el otro— es mucho más robusto frente al ruido que distinguir diez niveles de tensión, y permite regenerar la señal sin degradarla. Cada cifra binaria es un bit; ocho bits forman un byte, con 2^8 = 256 valores; con dieciséis bits se llega a 2^{16} = 65.536 y con treinta y dos, a 2^{32} = 4.294.967.296 valores, de 0 a 4.294.967.295. El hexadecimal y el octal se usan como taquigrafía humana del binario, no como sistemas de la máquina.

La genealogía intelectual de esta idea es notable. Gottfried Leibniz publicó en 1703 su explicación de la aritmética binaria, fascinado por la economía de una notación con solo dos signos. George Boole formalizó en el siglo XIX un álgebra de dos valores para el razonamiento lógico. Y Claude Shannon, en su tesis de 1937, mostró que esa álgebra describe exactamente el comportamiento de los circuitos de conmutación, uniendo por fin la lógica, el número y la electricidad. Un siglo antes de Shannon, Ada Lovelace había comprendido, en sus anotaciones a la máquina analítica de Babbage de 1843, que una máquina de calcular podía manipular símbolos y no solo cantidades, y dejó escrito el que se considera el primer algoritmo pensado para una máquina, destinado a calcular los números de Bernoulli. En la misma línea de alejar al ser humano de la escritura directa en código de máquina trabajó Grace Hopper, cuyo compilador de 1952 abrió el camino a los lenguajes simbólicos.

Los errores del alumnado en este bloque son característicos y fáciles de anticipar: leer 1011 como «mil once» en lugar de deletrear las cifras, olvidar indicar la base, o creer que cambiar de base cambia el número y no solo su nombre. Un ejercicio que los corrige casi todos a la vez consiste en escribir la misma cantidad en cuatro bases y comprobar que las cuatro representaciones cuentan los mismos objetos sobre la mesa.

10. Aplicación didáctica y relación con el currículo

Los contenidos de este tema se concentran en el sentido numérico, que el currículo vigente sitúa en el centro de la competencia matemática de toda la educación secundaria, y se prolongan en el sentido de la medida, el sentido algebraico y el pensamiento computacional. En primero y segundo de la ESO viven los saberes básicos de divisibilidad —múltiplos, divisores, primos, factorización, máximo común divisor y mínimo común múltiplo—, la estimación y la aproximación, y las primeras estrategias de cálculo mental. En tercero y cuarto, la potenciación, la notación científica y las ampliaciones sucesivas de los conjuntos numéricos. En bachillerato reaparecen la inducción como método de demostración, la aritmética modular y, en las materias orientadas a la tecnología, los sistemas de numeración binario y hexadecimal. La numerabilidad y el argumento diagonal no forman parte de los saberes obligatorios, pero son un material excelente para el alumnado con alta capacidad y para actividades de profundización.

La transposición didáctica de este tema exige un orden distinto al de la exposición académica. En el aula no se empieza por Peano: se empieza por el problema y se termina, si acaso, en la formalización. Una secuencia que funciona parte de una situación con sentido —repartir en grupos iguales, sincronizar dos fenómenos periódicos, comprimir un mensaje— y llega a la herramienta matemática como respuesta a esa necesidad. Algunos ejemplos de situación de aprendizaje que rinden bien:

• La civilización inventada. Por equipos se diseña un sistema de numeración completo para una cultura ficticia —base, símbolos y reglas— y después cada equipo debe operar con el de otro. La actividad hace vivir la diferencia entre aditivo y posicional y la necesidad del cero, y trae su propia evaluación: funciona o no funciona.
• El calendario y los engranajes. Sincronizar dos ruedas dentadas de distinto número de dientes o dos ciclos de riego lleva al mínimo común múltiplo sin enunciarlo previamente, y permite trabajar la sostenibilidad del uso del agua con datos reales del entorno del centro, ligando el bloque con el Objetivo de Desarrollo Sostenible sobre agua y consumo responsable.
• Mensajes secretos. Un cifrado por desplazamiento introduce la aritmética modular, y la conversación posterior sobre por qué la criptografía real usa números primos enormes conecta el tema con la seguridad digital que el alumnado usa a diario.

En evaluación, el tema admite instrumentos variados y no solo la prueba escrita: una rúbrica para la exposición del sistema de numeración inventado, un porfolio con la evolución de las demostraciones por inducción, tareas de análisis de errores donde el alumnado corrige una demostración falsa y justifica dónde falla. Rige un principio operativo: lo que se evalúa determina lo que se estudia, así que si se quiere que el alumnado razone y no solo calcule, alguna tarea debe pedir que justifique un procedimiento —por qué funciona el criterio del 9, por qué termina el algoritmo de Euclides— y no solo que lo aplique.

La atención a la diversidad encuentra aquí un terreno agradecido. Los principios del diseño universal para el aprendizaje se materializan de forma casi literal: representación múltiple del mismo contenido (bloques multibase y regletas para el valor posicional, recta numérica para el orden, tabla de doble entrada para la divisibilidad, hoja de cálculo para explorar patrones de primos), múltiples formas de expresión (manipulativa, gráfica, verbal, simbólica) y varias vías de implicación, desde el reto de investigación hasta el trabajo cooperativo. El alumnado con discalculia necesita apoyo específico y sostenido en la recuperación de hechos numéricos y en el valor posicional, y se beneficia de material manipulativo mantenido más tiempo del habitual, de calculadora para liberar carga cognitiva cuando el objetivo no es el cálculo, y de plantillas con las posiciones marcadas. En el otro extremo, la infinitud de los primos, los primos de Mersenne o el argumento diagonal ofrecen profundización genuina sin necesidad de adelantar contenidos del curso siguiente.

La perspectiva de género en este tema no se resuelve con una efeméride. Se trabaja al citar con naturalidad a Sophie Germain al hablar de primos, a Emmy Noether al hablar de estructuras, a Julia Robinson al hablar de decidibilidad o a Hipatia al hablar de la transmisión de la aritmética antigua, en el mismo tono y con el mismo peso con que se cita a Euclides o a Gauss. El objetivo no es la cuota sino el referente: que el alumnado no construya la imagen de que la matemática la han hecho solo hombres, porque esa imagen tiene efectos medibles en la elección de itinerarios en cuarto de la ESO y en bachillerato. Complementariamente, cuidar el lenguaje, repartir de forma equilibrada los papeles en el trabajo en equipo y vigilar a quién se dirigen las preguntas difíciles son medidas de aula tan importantes como los referentes históricos.

Por último, el tema es una oportunidad para el pensamiento computacional: la criba de Eratóstenes, el algoritmo de Euclides y la conversión de base son algoritmos en sentido estricto, con entrada, salida, finitud y terminación demostrable, y se programan en pocas líneas o en una hoja de cálculo. Programarlos obliga a explicitar el procedimiento y hace visible una idea que atraviesa el tema entero: que la aritmética que se aprende con lápiz y papel es, desde siempre, un conjunto de algoritmos.

11. Conclusión

Los números naturales sostienen dos historias que este tema ha recorrido en paralelo. La primera es la de su fundamentación: de la intuición del contar a los cinco axiomas de Peano, de estos a las construcciones conjuntistas que garantizan que existe un objeto que los satisface, y de la inducción y la recursión a la definición rigurosa de las operaciones, el orden y la divisibilidad. En el camino han aparecido los grandes resultados de la aritmética elemental —división euclídea, teorema fundamental de la aritmética, infinitud de los primos, algoritmo de Euclides— y también los límites del propio edificio, con la incompletitud de Gödel y la indecidibilidad del décimo problema de Hilbert. La segunda historia es la de su escritura: de las muescas a los sistemas aditivos, de estos al valor posicional y al cero, y del cero a la base dos que sostiene toda la tecnología digital contemporánea.

Ambas historias convergen en el aula. Comprender que un sistema de numeración es una tecnología, y no una convención neutra, explica por qué los algoritmos de cálculo son como son y por qué un ordenador cuenta con dos símbolos. Comprender que la inducción es una consecuencia de un axioma, y no una acumulación de comprobaciones, es dar el paso del cálculo a la demostración, que es exactamente el salto que la educación secundaria debe propiciar. Enseñar bien este tema no es, por tanto, despachar un preliminar: es poner los cimientos sobre los que se levantará todo lo demás, y hacerlo con el rigor, la mirada histórica y la sensibilidad didáctica que la materia merece.

12. Bibliografía y referencias

(a) Referencias técnicas y científicas

• Dedekind, R. ¿Qué son y para qué sirven los números? Alianza Editorial. Texto fundacional de la caracterización de los naturales y del teorema de recursión.
• Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita (1889). Formulación original de los cinco axiomas.
• Landau, E. Foundations of Analysis. Chelsea. Construcción minuciosa de los sistemas numéricos desde los axiomas de Peano.
• Halmos, P. R. Teoría intuitiva de conjuntos. Compañía Editorial Continental. Construcción de von Neumann, cardinales y ordinales.
• Niven, I.; Zuckerman, H. S.; Montgomery, H. L. An Introduction to the Theory of Numbers. Wiley. Divisibilidad, congruencias y primos.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press. Clásico para la distribución de los primos.
• Ifrah, G. Historia universal de las cifras. Espasa. Referencia sobre los sistemas de numeración de todas las culturas.
• Boyer, C. B. Historia de la matemática. Alianza Editorial. Contexto histórico general del número y del cálculo.
• Kline, M. El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial.
• Gómez Alfonso, B. Numeración y cálculo. Síntesis. Didáctica del sistema de numeración decimal y de los algoritmos.
• Gelman, R.; Gallistel, C. R. The Child's Understanding of Number. Harvard University Press. Los cinco principios del conteo.
• Chamorro, M. C. (coord.). Didáctica de las matemáticas. Pearson. Transposición didáctica y errores del alumnado en aritmética.
• Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, vol. 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley. Cambio de base y algoritmos aritméticos.
• Shannon, C. E. A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits (1937). Enlace entre el álgebra de dos valores y los circuitos.
• Nagel, E.; Newman, J. R. El teorema de Gödel. Tecnos. Exposición accesible de la incompletitud.

(b) Recursos y webgrafía

• Proyecto Descartes y Geogebra: applets de valor posicional, bloques multibase, criba de Eratóstenes y algoritmo de Euclides.
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS): consulta de sucesiones y familias de primos para tareas de investigación.
• Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS): computación distribuida para la búsqueda de primos de Mersenne.
• MacTutor History of Mathematics Archive (Universidad de St Andrews): biografías documentadas de Peano, Dedekind, Cantor, Germain, Noether, Robinson e Hipatia.
• Revistas de las sociedades de profesorado de matemáticas (Suma, Épsilon, Números): secuencias didácticas sobre divisibilidad y numeración.
• Entornos de programación en bloques y Python en línea: criba, algoritmo de Euclides y conversión de base como tareas de pensamiento computacional.

Orientaciones para el estudio

• Memorice los cinco axiomas de Peano en orden y sepa explicar qué se rompe al suprimir cada uno. El tribunal valora que se distinga la función del tercero, del cuarto y del quinto, no que se reciten. Tenga a punto la idea de que el axioma de inducción es el que expulsa los modelos con elementos inalcanzables.
• Domine la doble lectura de la inducción: como método de demostración y como fundamento del teorema de recursión, que es lo que legitima definir la suma y el producto. Casi nadie menciona el teorema de recursión, y citarlo distingue de inmediato una exposición.
• Lleve preparadas y escritas cuatro demostraciones cortas: la suma de los n primeros naturales por inducción, la división euclídea a partir de la buena ordenación, la infinitud de los primos y el teorema fundamental de la numeración. Son las que más se piden y las cuatro caben en poco espacio.
• Practique hasta automatizar el algoritmo de Euclides con la identidad de Bézout recorrida hacia atrás, y el cambio de base por divisiones sucesivas con su comprobación. Un error de cálculo en una cuenta elemental en un tema de números hace mucho daño, así que compruebe siempre el resultado.
• Prepare el argumento diagonal de Cantor y el zigzag de los racionales, y sepa enunciar con precisión qué prueba cada uno. Es el contenido de mayor nivel del tema y causa muy buena impresión bien explicado; mal explicado, lo contrario.
• No descuide el recorrido histórico: bastan cinco hitos con una idea distintiva de cada uno (egipcio aditivo, babilónico sexagesimal sin cero, romano sustractivo, maya vigesimal con cero, indoarábigo completo) y el papel decisivo del cero. Un párrafo bien construido rinde más que una lista de fechas.
• Reparta los errores típicos del alumnado por todo el desarrollo, no en un bloque al final: la inducción como comprobación de casos, el 1 como primo, la confusión entre máximo común divisor y mínimo común múltiplo, el resto mayor que el divisor, «hay más naturales que pares», leer un número binario como si fuera decimal. Son didáctica de primera y casi nadie los escribe.
• Cite a Germain, Noether, Robinson e Hipatia donde corresponde por su contribución, con la misma naturalidad con que cita a Euclides o a Gauss, y no en un apartado aparte. La naturalidad es justo lo que se valora.
• Reserve espacio y tiempo para la aplicación didáctica: al menos una situación de aprendizaje descrita con su tarea, sus materiales y su forma de evaluar. Un tema de números impecable en lo matemático y mudo en lo didáctico se queda en notable.
• Vigile el reparto del tiempo. El bloque de fundamentación tiende a comerse la exposición: si a mitad de tiempo no ha llegado a la divisibilidad, no llegará a los sistemas de numeración, que son la mitad del título del tema y por tanto la mitad de lo que se espera oír.