Tema 1. Números naturales. Sistemas de numeración.

Índice

1. Introducción
2. La construcción axiomática: los axiomas de Peano
3. La construcción conjuntista: Frege-Russell y von Neumann. Cardinal y ordinal
4. Inducción, recursión y definición de las operaciones
5. Operaciones, propiedades y orden. La buena ordenación
6. La divisibilidad: primos, factorización, mcd y mcm
7. Cardinalidad y numerabilidad: el infinito de Cantor
8. Los sistemas de numeración: aditivos y posicionales. Recorrido histórico
9. El valor posicional y la base: cambio de base y bases de la informática
10. Categoricidad, incompletitud y la base dos como fundamento de la información
11. Aplicación didáctica y relación con el currículo
12. Conclusión
13. Bibliografía y referencias

1. Introducción

Los números naturales son, a la vez, el objeto matemático más antiguo y el más cotidiano. Contar es, con toda probabilidad, la primera actividad propiamente matemática de la humanidad —atestiguada en huesos con muescas de hace más de treinta mil años, como el peroné de Ishango— y la primera que despliega una criatura mucho antes de escolarizarse. Y, sin embargo, tras esa aparente sencillez se esconde uno de los edificios conceptuales más profundos de toda la matemática: la construcción rigurosa de \mathbb{N} obligó a los grandes lógicos y matemáticos de finales del siglo XIX —Dedekind, Peano, Frege, Cantor— a preguntarse qué es un número, y responder a esa pregunta puso en marcha la refundación de los fundamentos de la disciplina. Leopold Kronecker cristalizó esta centralidad en una frase célebre: «Dios creó los números naturales; todo lo demás es obra del hombre».

Este tema aborda dos preguntas complementarias que cualquier profesor o profesora de Matemáticas de Secundaria debe dominar con solvencia. La primera es qué son los números naturales: cómo se construyen con rigor, qué propiedades los caracterizan, cómo se definen sus operaciones y su orden, qué significa que \mathbb{N} sea infinito. La segunda es cómo se escriben: cuáles son los sistemas de numeración que la humanidad ha inventado para nombrar y manipular cantidades, qué distingue un sistema aditivo de uno posicional, por qué el valor posicional y el descubrimiento del cero constituyen una de las mayores revoluciones intelectuales de la historia, y por qué la base dos es hoy el lenguaje íntimo de toda la tecnología digital.

No es casual que este sea el tema primero del temario de la especialidad. En la arquitectura del currículo vigente, ordenado por la Ley Orgánica 2/2006, de Educación (LOE), modificada por la Ley Orgánica 3/2020 (LOMLOE), y desarrollado por el Real Decreto 217/2022 para la Educación Secundaria Obligatoria (ESO), el Real Decreto 243/2022 para el Bachillerato y, en la Comunitat Valenciana, por los Decretos 107/2022 y 108/2022 del Consell, los saberes de este tema pertenecen de lleno al sentido numérico, el primero de los seis sentidos en que la LOMLOE organiza la competencia matemática. Comprender los números naturales, su estructura y su representación es la condición previa para el sentido de la medida, el sentido algebraico y el pensamiento computacional que vertebran toda la etapa. Enseñar bien este tema es, por eso, sentar los cimientos de la educación matemática de calidad que persigue el Objetivo de Desarrollo Sostenible 4 (ODS 4) de la Agenda 2030.

El desarrollo combina tres miradas que se irán entrelazando. La mirada fundacional, que parte de la axiomática de Peano y de las construcciones conjuntistas para levantar \mathbb{N} desde sus cimientos lógicos. La mirada aritmética, que desarrolla las operaciones, el orden, la divisibilidad y la teoría elemental de números. Y la mirada histórica y didáctica, que recorre la evolución de los sistemas de numeración —una historia profundamente intercultural, obra de egipcios, babilonios, mayas, indios y árabes— y sitúa cada contenido en su lugar del aula. A lo largo del tema, y no solo al final, iremos señalando cómo cada bloque conecta con los saberes básicos y las competencias del currículo, qué errores y preconcepciones suele encontrar el docente, con qué materiales y situaciones de aprendizaje se enseña, y qué figuras —muchas de ellas mujeres cuya contribución la historia ha tendido a silenciar— jalonan esta aventura del pensamiento.

2. La construcción axiomática: los axiomas de Peano

2.1. De la intuición al axioma

Durante milenios los números naturales se usaron sin definirse: eran una intuición primaria, un dato de la experiencia. El giro decisivo hacia su fundamentación rigurosa se produce en 1889, cuando el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) publica Arithmetices principia, nova methodo exposita, donde presenta un sistema de axiomas que caracteriza \mathbb{N} sin apelar a la intuición. Peano reconoció explícitamente su deuda con Richard Dedekind (1831-1916), cuyo opúsculo Was sind und was sollen die Zahlen? («¿Qué son y para qué sirven los números?», 1888) contenía ya, en esencia, la misma caracterización, formulada en el lenguaje de las «cadenas» (Ketten). Por ello se habla con frecuencia de axiomas de Dedekind-Peano. El logro de ambos fue mostrar que toda la aritmética podía deducirse de un puñado mínimo de principios, culminando el ideal de rigor que había arrancado con los Elementos de Euclides veintidós siglos antes.

La idea es tomar como conceptos primitivos —no definidos— tres ingredientes: un conjunto \mathbb{N}, un elemento distinguido que llamamos cero (denotado 0) y una función sucesor s:\mathbb{N}\to\mathbb{N} que a cada número le asigna «el siguiente». No se dice qué es el cero ni qué es el sucesor; se dice cómo se comportan. A partir de estos tres ingredientes, los cinco axiomas de Peano son:

1. El cero es un número natural: 0\in\mathbb{N}.
2. Todo número natural tiene un sucesor que también es natural: para todo n\in\mathbb{N}, s(n)\in\mathbb{N}.
3. El cero no es sucesor de ningún número: no existe n\in\mathbb{N} tal que s(n)=0. El cero es un «primer» elemento.
4. La función sucesor es inyectiva: si s(m)=s(n), entonces m=n. Números distintos tienen sucesores distintos.
5. Axioma de inducción: si un subconjunto S\subseteq\mathbb{N} cumple que 0\in S y que, siempre que n\in S, también s(n)\in S, entonces S=\mathbb{N}.

Figura 1. Los axiomas de Peano: la cadena del cero y el sucesor, con el axioma de inducción que fija su unicidad.

2.2. La función de cada axioma

Cada axioma cumple un cometido preciso, y comprenderlo es más valioso que recitarlos. Los axiomas 1 y 2 garantizan que \mathbb{N} contiene al menos la cadena 0, s(0), s(s(0)),\dots, es decir, la sucesión que informalmente escribimos 0,1,2,3,\dots El axioma 3 impide que esa cadena «se cierre» sobre el cero, evitando un ciclo del tipo \dots\to 0; sin él, \mathbb{N} podría ser finito y circular, como las horas de un reloj. El axioma 4 impide que dos ramas distintas confluyan: garantiza que la cadena no se enreda consigo misma ni se bifurca hacia atrás. Sin el axioma 5, sin embargo, nada impediría que \mathbb{N} contuviera además elementos «extraños», ajenos a la cadena engendrada por el sucesor a partir del cero. El axioma de inducción es precisamente el que expulsa a esos intrusos y afirma que \mathbb{N} es exactamente el conjunto generado por el cero y el sucesor, sin más ni menos. Es, por eso, el axioma más profundo y el que confiere a \mathbb{N} su rasgo distintivo: la posibilidad de razonar por inducción, que desarrollaremos en el apartado 4.

Conviene una nota sobre el punto de partida. Peano comenzaba en 1; hoy, por comodidad conjuntista y algebraica, es habitual comenzar en 0, coherente con el uso del cero como cardinal del conjunto vacío. La elección es convencional y no altera la estructura. En el ámbito escolar valenciano suele considerarse \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}, incluyendo el cero; conviene que el docente conozca la ambigüedad y la explicite, pues es fuente de dudas legítimas del alumnado. Lo esencial es que los cinco axiomas capturan por completo la naturaleza de los naturales: como veremos en el apartado 10, cualquier estructura que los satisfaga es, salvo un cambio de nombres, idéntica a \mathbb{N}. Este primer contacto con el método axiomático —definir objetos por sus propiedades y no por su «esencia»— es una de las lecciones formativas más valiosas del tema, y conecta con la competencia específica del currículo LOMLOE relativa al razonamiento y la prueba, que en el Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología (materias de Matemáticas I y II, reguladas por el RD 243/2022 y el Decreto 108/2022) alcanza su expresión más exigente.

Conviene, por último, reivindicar la figura de Peano más allá de sus axiomas. A él y a su escuela de Turín debemos buena parte de la notación lógica y conjuntista que hoy usamos sin pensar: los símbolos de pertenencia \in, de inclusión \subset, de unión \cup e intersección \cap, así como los cuantificadores, tienen su origen o su normalización en su obra. Peano encarna una doble lección para el futuro docente: la del rigor en los fundamentos y la de que un buen simbolismo —una buena transposición de la idea al signo— es en sí mismo un avance matemático, algo que se experimenta cada día en el aula al decidir cómo representar un concepto para que el alumnado lo capte con claridad.

3. La construcción conjuntista: Frege-Russell y von Neumann. Cardinal y ordinal

La axiomática de Peano describe \mathbb{N} pero no lo construye a partir de nociones más básicas: toma el cero y el sucesor como primitivos. El programa logicista de finales del XIX y principios del XX quiso ir más lejos y edificar los números naturales sobre el único cimiento de la lógica y la teoría de conjuntos. De ahí surgieron dos construcciones célebres que responden, además, a las dos caras del concepto de número: el cardinal (cuántos hay) y el ordinal (qué lugar ocupa).

3.1. La vía cardinal: Frege y Russell

La construcción de Frege-Russell aborda el número como cardinal. Gottlob Frege (1848-1925), en Die Grundlagen der Arithmetik (1884), propuso definir el número de una colección a partir de la relación de equipotencia o coordinabilidad: dos conjuntos tienen el mismo número de elementos cuando existe una biyección entre ellos. Un número natural sería entonces la clase de todos los conjuntos equipotentes entre sí: el 3 es lo común a todas las colecciones de tres objetos, la clase de todos los tríos. Bertrand Russell retomó esta idea, pero su propio descubrimiento de la paradoja de Russell —la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas— mostró que hablar sin restricciones de la «clase de todos los conjuntos» conduce a contradicción. El programa logicista, refinado en los Principia Mathematica (1910-1913), tuvo que introducir la teoría de tipos para sortear estas dificultades. La construcción de Frege-Russell, pese a su elegancia conceptual —captura magníficamente la idea intuitiva de cardinal—, resultó técnicamente incómoda.

3.2. La vía ordinal: von Neumann

La construcción de von Neumann, propuesta por John von Neumann en 1923 dentro de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), es hoy la estándar y aborda el número como ordinal. La idea es de una economía admirable: cada número natural se define como el conjunto de todos los números naturales anteriores a él. Así:

De este modo, cada natural n es un conjunto con exactamente n elementos —de nuevo cardinal y ordinal se dan la mano—, y el sucesor admite una definición conjuntista pura: s(n)=n\cup\{n\}. Se comprueba, además, que m<n equivale a m\in n, de modo que el orden de los naturales queda reducido a la pertenencia. La existencia de todo \mathbb{N} queda garantizada, en la teoría ZF, por el axioma de infinitud, que postula la existencia de un conjunto que contiene al vacío y es cerrado bajo la operación sucesor. La virtud de la construcción de von Neumann es que los naturales así definidos satisfacen automáticamente los cinco axiomas de Peano: son un modelo de la aritmética, una prueba de que esta no es una fantasía sino una teoría con contenido.

No es esta la única construcción posible. Ernst Zermelo había propuesto antes una alternativa en la que 0=\varnothing y s(n)=\{n\}, de modo que 1=\{\varnothing\}, 2=\{\{\varnothing\}\}, y así sucesivamente. Ambas son legítimas y producen modelos de Peano, pero la de von Neumann se impuso por una ventaja decisiva: en ella cada número es el conjunto de sus anteriores y tiene, por tanto, exactamente ese número de elementos, lo que unifica de un golpe las nociones de cardinal y ordinal y se generaliza sin cambios a los ordinales transfinitos de Cantor. Que un mismo concepto admita varias definiciones formales igualmente válidas es, una vez más, una manifestación del principio estructural que gobierna la matemática moderna: importa cómo se comportan los objetos, no de qué están hechos.

Figura 2. La construcción de von Neumann: 0=\varnothing, 1=\{0\}, 2=\{0,1\}, 3=\{0,1,2\}, con el sucesor como unión.

3.3. Cardinal y ordinal: la doble naturaleza del número

Estas dos construcciones iluminan la doble naturaleza del número natural. Como cardinal, responde a la pregunta «¿cuántos?» y se asocia a la actividad de contar colecciones (tres manzanas, tres estrellas). Como ordinal, responde a «¿en qué posición?» y se asocia a la actividad de ordenar (el tercero de la fila). Para conjuntos finitos, cardinal y ordinal coinciden numéricamente, y esa coincidencia es tan natural que pasa desapercibida; pero, como veremos al hablar del infinito, cardinal y ordinal se separan de manera espectacular cuando se abandonan las colecciones finitas.

Didácticamente, esta distinción es capital. En Educación Primaria y en el primer ciclo de la ESO, contar bien exige coordinar el aspecto cardinal (el último número dicho es el total de la colección: el llamado principio de cardinalidad) y el ordinal (cada objeto recibe una única etiqueta en un orden estable). Muchas dificultades del alumnado en los primeros niveles proceden de no haber integrado ambas facetas: hay quien recita la serie numérica correctamente pero, al preguntarle «¿cuántos hay?», vuelve a contar en lugar de dar el último número, señal de que aún no ha construido el cardinal. Conocer esta distinción —estudiada por la psicología del aprendizaje matemático de Gelman y Gallistel— permite al docente diagnosticar con precisión y diseñar tareas que fortalezcan la faceta débil.

Cabe añadir que el ser humano dispone de una percepción inmediata de las cantidades muy pequeñas —hasta tres o cuatro objetos— sin necesidad de contar, fenómeno llamado subitización que comparte con otras especies y que precede al lenguaje. El número como concepto abstracto, en cambio, es una construcción cultural que se apoya en esa base perceptiva pero la trasciende, como muestran las lenguas de algunos pueblos que solo poseen palabras para «uno», «dos» y «muchos». Comprender que el número no es un dato biológico sino una conquista intelectual ayuda al docente a valorar la magnitud del aprendizaje que acompaña y a respetar los ritmos diversos con que cada criatura lo alcanza, en coherencia con la atención a la diversidad que la LOMLOE sitúa en el centro.

Figura 3. Cardinal y ordinal: contar una colección frente a situar un elemento en un orden.

4. Inducción, recursión y definición de las operaciones

4.1. El principio de inducción y sus variantes

El quinto axioma de Peano tiene una doble lectura, y ambas son fundamentales para toda la aritmética. Como método de demostración, da lugar al principio de inducción matemática: para probar que una propiedad P(n) se cumple para todo natural n, basta demostrar que P(0) es cierta (caso base) y que, suponiendo P(n) cierta (hipótesis de inducción), se deduce P(s(n)) (paso inductivo). Si ambos pasos se cumplen, el conjunto S=\{n\in\mathbb{N}: P(n)\text{ es cierta}\} contiene al 0 y es cerrado bajo el sucesor, luego por el axioma 5 coincide con \mathbb{N}: la propiedad vale para todos.

La imagen didáctica clásica —y muy eficaz en el aula— es la de una fila infinita de fichas de dominó: el caso base es empujar la primera; el paso inductivo garantiza que cada ficha derriba a la siguiente; la conclusión es que caen todas. Otra imagen fecunda es la de una escalera: si sé subir el primer peldaño y sé pasar de un peldaño cualquiera al siguiente, puedo alcanzar cualquier altura. Existe una variante llamada inducción fuerte o completa, en la que la hipótesis supone P(k) para todo k\le n; es lógicamente equivalente al principio ordinario y resulta más cómoda en muchas demostraciones, señaladamente en la de la existencia de factorización en primos.

Figura 4. La inducción como efecto dominó: caso base más paso inductivo derriban toda la fila.

Un ejemplo canónico ilustra el método y conviene tenerlo memorizado para el aula y el tribunal. Probemos que la suma de los primeros n naturales positivos vale 1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}. Caso base: para n=1, el miembro izquierdo es 1 y el derecho \dfrac{1\cdot 2}{2}=1; se cumple. Paso inductivo: supongamos cierta la fórmula para n —hipótesis de inducción— y probémosla para n+1. Partiendo de la suma hasta n+1 y aplicando la hipótesis,

que es exactamente la fórmula para n+1. Por el principio de inducción, vale para todo n. La célebre anécdota —probablemente embellecida— de que el joven Carl Friedrich Gauss halló esta suma en segundos emparejando los sumandos (1+100, 2+99, …, cien parejas que suman 101) muestra, además, que un mismo resultado admite una demostración por inducción y otra directa y visual; explotar esa dualidad ayuda a atender la diversidad de estilos de aprendizaje que reclama el Diseño Universal para el Aprendizaje.

4.2. El teorema de recursión

Como método de construcción, el axioma de inducción sustenta el teorema de recursión —debido esencialmente a Dedekind—, que legitima las definiciones recursivas. En su forma básica afirma: dados un conjunto A, un elemento a\in A y una función f:A\to A, existe una única función h:\mathbb{N}\to A tal que h(0)=a y h(s(n))=f(h(n)) para todo n. Este teorema es más sutil de lo que parece: garantiza que «definir algo dando su valor inicial y una regla para pasar de un paso al siguiente» es una operación legítima que produce un objeto único y bien definido. Sin él, las definiciones recursivas serían meras promesas sin fundamento. La distinción entre el axioma de inducción (que sirve para demostrar) y el teorema de recursión (que sirve para definir) es fina y con frecuencia se difumina en los manuales; señalarla es un buen indicador de dominio ante un tribunal.

Un ejemplo cotidiano de definición recursiva legitimada por este teorema es el factorial: 0!=1 y (n+1)!=(n+1)\cdot n!; o la propia sucesión de Fibonacci, F_0=0, F_1=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n, que requiere una versión del teorema con dos valores iniciales. En informática, la recursión es un paradigma de programación de primer orden y muchos algoritmos se expresan de forma natural en estos términos; señalar el paralelismo entre la definición recursiva matemática y la función recursiva de un programa es otra manera de tender el puente hacia el pensamiento computacional que el currículo reclama.

4.3. Definición recursiva de la suma, el producto y la potencia

Con el teorema de recursión se definen las operaciones aritméticas partiendo únicamente del cero y del sucesor. La suma se define recursivamente sobre el segundo sumando:

Intuitivamente: sumar cero no cambia nada, y sumar el sucesor de n es hallar el sucesor de la suma con n. De aquí se sigue de inmediato que s(n)=n+1 (escribiendo 1=s(0)), lo que reconcilia la notación abstracta con la familiar. El producto se define, también recursivamente, apoyándose en la suma ya construida:

Es decir, multiplicar por cero da cero, y multiplicar por el sucesor de n es sumar m una vez más al producto anterior; el producto es, por tanto, una suma reiterada, tal como se presenta en la escuela. Análogamente puede definirse la potenciación: m^0=1 y m^{s(n)}=m^n\cdot m, como producto reiterado. Se percibe una jerarquía elegante —el producto se apoya en la suma, la potencia en el producto— que anticipa la construcción de operaciones aún más rápidas y prepara, en cursos superiores, la comprensión de los logaritmos como operación inversa.

Merece recordarse que estas definiciones recursivas de la suma y el producto se remontan a Hermann Grassmann, que ya en 1861 —antes que Dedekind y Peano— las había formulado en un manual escolar de aritmética, un ejemplo temprano y notable de rigor puesto al servicio de la enseñanza. A partir de ellas, la demostración de la conmutatividad de la suma requiere, curiosamente, varias inducciones anidadas —primero se prueban como lemas auxiliares 0+n=n y s(m)+n=s(m+n)—, lo que sorprende a quien da por «evidente» que a+b=b+a. Que una verdad tan intuitiva exija un argumento nada trivial es una de las lecciones epistemológicas más valiosas del tema: nos recuerda que «obvio» y «demostrado» no son sinónimos.

Lo verdaderamente notable es que todas las propiedades de las operaciones se demuestran por inducción a partir de estas definiciones. No son axiomas ni hechos aceptados: son teoremas. Que la suma sea conmutativa, que el producto sea asociativo o que valga la propiedad distributiva no se postula, se prueba. Este es uno de los mensajes formativos más potentes del tema: la aritmética elemental que parece obvia es, en realidad, un edificio deductivo levantado íntegramente sobre cinco axiomas y una definición recursiva. Transponer esta idea al aula —sin el aparato formal, pero sí con la actitud— significa cultivar en el alumnado la pregunta «¿por qué es esto verdad?» en lugar del mero «¿cómo se hace?», que es precisamente lo que la competencia específica de razonamiento y prueba del currículo LOMLOE persigue desarrollar desde 1.º de ESO.

5. Operaciones, propiedades y orden. La buena ordenación

5.1. La estructura algebraica de los naturales

Las operaciones definidas en el apartado anterior dotan a \mathbb{N} de una rica estructura algebraica cuyas propiedades conviene enunciar con precisión, pues constituyen el fundamento del cálculo que se enseña en el aula y el germen de las estructuras abstractas que estudiará el alumnado más adelante.

Respecto de la suma, se demuestran por inducción las propiedades asociativa, (a+b)+c=a+(b+c); conmutativa, a+b=b+a; y la existencia de elemento neutro, el cero, a+0=a. Además, la suma es regular o cancelativa: si a+c=b+c, entonces a=b. Con estas propiedades, (\mathbb{N},+) es un monoide conmutativo y regular. No es un grupo, porque en general no existen elementos opuestos: la ecuación a+x=b no tiene solución en \mathbb{N} cuando b<a. Precisamente esta carencia —la resta no siempre es posible dentro de \mathbb{N}— es la que motivará, en el tema de los enteros, la ampliación a \mathbb{Z}. En el aula, este es el argumento honesto para introducir los números negativos: no como un capricho, sino como la respuesta a un problema real que \mathbb{N} no puede resolver.

Respecto del producto, se cumplen la asociativa, la conmutativa y la existencia de elemento neutro, el uno, a\cdot 1=a, de modo que (\mathbb{N},\cdot) es también un monoide conmutativo. Enlaza ambas operaciones la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c. El cero actúa como elemento absorbente, a\cdot 0=0, y el producto también es regular para factores no nulos. El conjunto (\mathbb{N},+,\cdot) constituye así un semianillo conmutativo con unidad; no llega a ser anillo por la ausencia de opuestos aditivos.

Este vocabulario —monoide, semianillo, grupo, anillo— pertenece al álgebra abstracta, cuya formalización moderna debe mucho a Emmy Noether (1882-1935), una de las matemáticas más influyentes de la historia. Noether, que hubo de impartir clases durante años sin sueldo ni plaza por su condición de mujer en la universidad alemana, revolucionó el álgebra al desplazar el foco desde los objetos concretos hacia las estructuras y sus propiedades, sentando las bases de la teoría de anillos e ideales que hoy da sentido pleno a por qué \mathbb{N}, \mathbb{Z} o los polinomios comparten un mismo esqueleto. Que el semianillo de los naturales sea el primer eslabón de esa cadena de estructuras es una idea que merece nombrarse en su origen. Su ejemplo, además, ilustra sin necesidad de discursos añadidos la importancia de la igualdad de oportunidades que persigue el ODS 5 y que el sistema educativo tiene el mandato de garantizar.

5.2. El orden y la tricotomía

El orden en \mathbb{N} se define de modo natural a partir de la suma: se dice que m\le n cuando existe algún k\in\mathbb{N} tal que m+k=n. Se comprueba que esta relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva —es un orden parcial— y, además, total: dados dos naturales cualesquiera, siempre uno es menor o igual que el otro. Vale la tricotomía: para cada par, o bien m<n, o bien m=n, o bien m>n, y solo una de las tres. El orden es compatible con las operaciones: si m\le n, entonces m+p\le n+p y m\cdot p\le n\cdot p. El cero es el mínimo de \mathbb{N}. Visualmente, este orden total se representa en la recta numérica, el modelo geométrico que acompaña al alumnado durante toda la escolaridad y sobre el que más tarde se ubicarán los enteros, los racionales y los reales.

Dos rasgos del orden distinguen a \mathbb{N} de los cuerpos numéricos que estudiará después el alumnado. Es discreto: entre un número y su sucesor no hay ningún otro, a diferencia de la densidad de \mathbb{Q} o \mathbb{R}, donde entre dos números siempre cabe un tercero. Y cumple la propiedad arquimediana en su forma más simple: no existe un natural «infinitamente grande», sino que, dado cualquier n, siempre hay otro mayor. Ambos rasgos, evidentes en una recta de puntos aislados, son los que hacen posibles la inducción y el descenso; su pérdida al pasar a \mathbb{Q} obligará a nuevas herramientas, y explicitar el contraste ayuda al alumnado a no trasladar mecánicamente a los racionales las intuiciones de los naturales, un error frecuente al operar con fracciones.

5.3. La buena ordenación y la división euclídea

La propiedad de orden más importante, y la que verdaderamente distingue a \mathbb{N}, es el principio de buena ordenación: todo subconjunto no vacío de \mathbb{N} posee un elemento mínimo. Esta propiedad, aparentemente modesta, es de una potencia extraordinaria y equivale al principio de inducción: cada uno puede demostrarse a partir del otro, dados los demás axiomas. La buena ordenación es la herramienta que legitima el principio del descenso infinito de Fermat —si un problema tuviera solución en los naturales, tendría una mínima, y a menudo se logra construir otra menor, lo que es absurdo— y sustenta demostraciones capitales.

Figura 5. La recta numérica y el principio de buena ordenación: todo subconjunto no vacío de \mathbb{N} tiene mínimo.

En efecto, el teorema de la división euclídea —dados a y b>0 existen únicos cociente q y resto r con a=b\cdot q+r y 0\le r<b— se demuestra tomando el mínimo del conjunto de restos posibles, que existe por buena ordenación. De este teorema pende, como veremos, toda la teoría de la divisibilidad y, más adelante, el propio mecanismo del cambio de base. Es un ejemplo hermoso de cómo una propiedad «obvia» del orden se convierte en la piedra angular de resultados profundos, y de cómo el algoritmo de la división que el alumnado practica en Primaria oculta, bajo su rutina, un teorema de existencia y unicidad.

Concretémoslo: al dividir 47 entre 6 obtenemos cociente q=7 y resto r=5, pues 47=6\cdot 7+5 con 0\le 5<6, y ni el cociente ni el resto admiten otra elección que respete esas condiciones. La unicidad es esencial: si permitiéramos restos mayores o iguales que el divisor, la escritura dejaría de ser única y el sistema posicional se vendría abajo. Esta misma acotación 0\le r<b es la que garantiza, aplicada de forma reiterada, que todo número tenga una única representación en base b (apartado 9), de modo que el humilde algoritmo de la división que se enseña en Primaria sostiene, sin que el alumnado lo sospeche, la totalidad de la escritura numérica.

6. La divisibilidad: primos, factorización, mcd y mcm

6.1. La relación de divisibilidad

La divisibilidad es la relación aritmética que estructura internamente \mathbb{N} y da lugar a la teoría elemental de números. Se dice que a divide a b, o que b es múltiplo de a —se escribe a\mid b—, cuando existe c\in\mathbb{N} tal que b=a\cdot c. La relación de divisibilidad es reflexiva, antisimétrica y transitiva, es decir, un orden parcial sobre \mathbb{N}, aunque no total: hay pares de números en los que ninguno divide al otro, como 4 y 6. El 1 divide a todos los números y todo número se divide a sí mismo. Dos elementos merecen atención especial en esta relación: el 1 es el elemento mínimo del orden de divisibilidad —divide a todos—, y el 0 es el máximo, pues todo número lo divide (ya que 0=a\cdot 0), aunque él no divida a ningún otro salvo a sí mismo. Con estas convenciones, el conjunto de los naturales ordenado por divisibilidad forma una estructura llamada retículo, en la que el máximo común divisor es el «ínfimo» de dos elementos y el mínimo común múltiplo, su «supremo». Esta mirada estructural, que no es materia de ESO pero sí un buen recurso de fondo para el docente, conecta la divisibilidad con el orden y anticipa las estructuras algebraicas del apartado 5. Estos contenidos constituyen el núcleo del bloque de divisibilidad de los saberes básicos del sentido numérico en 1.º y 2.º de ESO (RD 217/2022 y Decreto 107/2022), donde el alumnado aprende a distinguir múltiplos de divisores —una de las confusiones más persistentes que el docente debe anticipar— y a reconocer los números primos.

6.2. Los números primos y el teorema fundamental de la aritmética

Ocupan un lugar central los números primos: un natural p>1 es primo cuando sus únicos divisores son 1 y él mismo; en caso contrario se llama compuesto. El 1 no se considera ni primo ni compuesto, convención necesaria para que la factorización sea única. Los primos son los «átomos» multiplicativos de \mathbb{N}, y esta intuición se formaliza en el resultado más importante de la aritmética elemental.

El teorema fundamental de la aritmética (TFA) afirma que todo número natural mayor que 1 se puede expresar como producto de números primos, y esa expresión es única salvo el orden de los factores. La existencia de la factorización se demuestra por inducción fuerte: o el número es primo —y ya está factorizado—, o es compuesto y se descompone en dos factores menores, a cada uno de los cuales se aplica la hipótesis de inducción. La unicidad es más delicada y descansa en el lema de Euclides: si un primo divide a un producto, divide al menos a uno de los factores. Este teorema, presente ya en esencia en los Elementos de Euclides (siglo III a.C.), es la razón profunda por la que la aritmética «funciona»: garantiza que cada número tiene una única «huella dactilar» prima.

Figura 6. Árbol de factorización de 360=2^3\cdot 3^2\cdot 5: los primos son los átomos multiplicativos de \mathbb{N}.

Un ejemplo integrado fija estas ideas. Factoricemos 360=2^3\cdot 3^2\cdot 5 (figura 6) y 84=2^2\cdot 3\cdot 7. El máximo común divisor toma los primos comunes con el menor exponente: \operatorname{mcd}(360,84)=2^2\cdot 3=12. El mínimo común múltiplo toma todos los primos, comunes y no comunes, con el mayor exponente: \operatorname{mcm}(360,84)=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2.520. Se verifica la relación notable, \operatorname{mcd}\cdot\operatorname{mcm}=12\cdot 2.520=30.240=360\cdot 84. Esta clase de tarea, además de su valor de cálculo, se presta a situaciones de aprendizaje contextualizadas —cada cuántos días vuelven a coincidir dos autobuses que pasan con distinta frecuencia (mcm), o cómo repartir en grupos iguales sin que sobre nadie (mcd)—, que dan sentido a un contenido que el alumnado suele percibir como puramente mecánico y lo conectan con la competencia de resolución de problemas.

6.3. La infinitud de los primos

La cantidad de primos es infinita, como demostró Euclides con un argumento de rara belleza que todo opositor debe saber reproducir. Si solo hubiera finitos primos p_1,p_2,\dots,p_n, el número N=p_1p_2\cdots p_n+1 no sería divisible por ninguno de ellos —deja resto 1—, de modo que o bien N es un nuevo primo, o bien tiene un divisor primo no listado; en cualquier caso, la lista era incompleta, y se llega a contradicción. Su distribución, en cambio, es irregular y sigue fascinando a los matemáticos: el teorema de los números primos (Hadamard y De la Vallée Poussin, 1896) precisa que la cantidad de primos menores que x es del orden de x/\ln x, y la hipótesis de Riemann, uno de los problemas del milenio aún abierto, gobierna las sutilezas de esa distribución. Los primos, además, son el corazón de la criptografía moderna (RSA), lo que ofrece al aula un contexto motivador de plena actualidad: la seguridad de las comunicaciones digitales descansa en la dificultad de factorizar números enormes, precisamente el reverso del sencillo árbol de la figura 6.

La teoría de los números primos está, además, sembrada de conjeturas de enunciado elemental y demostración esquiva que fascinan al alumnado: la conjetura de Goldbach —todo par mayor que dos es suma de dos primos—, verificada por ordenador hasta cifras astronómicas pero sin prueba general, o la de los primos gemelos —parejas como 11 y 13, o 17 y 19, separadas por una única unidad, de las que se cree que hay infinitas—. Que preguntas tan sencillas de formular resistan siglos de esfuerzo transmite una imagen veraz y estimulante de las matemáticas como ciencia viva, muy alejada del cliché de disciplina cerrada y concluida; es un mensaje que, bien transmitido, despierta vocaciones y desarrolla el sentido socioafectivo del currículo.

6.4. Máximo común divisor, mínimo común múltiplo y el algoritmo de Euclides

Dos operaciones asociadas a la divisibilidad son esenciales. El máximo común divisor, \operatorname{mcd}(a,b), es el mayor de los divisores comunes de a y b; el mínimo común múltiplo, \operatorname{mcm}(a,b), es el menor de sus múltiplos comunes no nulos. Ambos pueden calcularse a partir de la factorización en primos —el mcd tomando los factores comunes con el menor exponente; el mcm, los comunes y no comunes con el mayor exponente— y cumplen la relación notable \operatorname{mcd}(a,b)\cdot\operatorname{mcm}(a,b)=a\cdot b. Ahora bien, la vía más eficiente para el mcd es el algoritmo de Euclides, uno de los algoritmos más antiguos que se conservan. Se basa en la identidad \operatorname{mcd}(a,b)=\operatorname{mcd}(b,\,r), donde r es el resto de dividir a entre b, y consiste en dividir sucesivamente, sustituyendo el par (a,b) por (b,r) hasta obtener resto cero; el último resto no nulo es el mcd.

Figura 7. El algoritmo de Euclides: divisiones sucesivas hasta resto cero; el último resto no nulo es el mcd.

Su eficiencia es notable —no requiere factorizar, tarea computacionalmente costosa— y lleva asociada la identidad de Bézout: el mcd de a y b se puede escribir como combinación \operatorname{mcd}(a,b)=a\cdot x+b\cdot y, con x,y enteros, resultado clave en toda la aritmética modular posterior y en la propia criptografía. Didácticamente, el algoritmo de Euclides es un ejemplo insuperable para introducir el pensamiento computacional que el currículo LOMLOE incorpora al sentido numérico: es un procedimiento finito, definido y eficiente —la definición misma de algoritmo—, fácil de traducir a un programa (por ejemplo en Scratch o Python), lo que tiende un puente natural con la competencia digital y con la materia de Tecnología y Digitalización.

Conviene subrayar su eficiencia con un dato memorable: el peor caso del algoritmo —el que exige más divisiones para números de un tamaño dado— se da precisamente cuando los datos son números de Fibonacci consecutivos, resultado debido a Gabriel Lamé (1844) que constituye una de las primeras estimaciones de la complejidad de un algoritmo en la historia. El número de pasos crece solo de forma logarítmica con el tamaño de los datos, razón por la cual el método sigue siendo, más de dos mil años después de Euclides, el procedimiento estándar para el cálculo del mcd en los sistemas informáticos actuales, incluida su versión extendida, que proporciona los coeficientes de Bézout indispensables en la criptografía de clave pública.

6.5. Los criterios de divisibilidad y las congruencias

Merecen mención los criterios de divisibilidad, que el alumnado aprende como reglas prácticas pero que tienen una fundamentación precisa mediante congruencias, y que conviene dominar para un tribunal. En base diez, como 10\equiv 1\pmod 9, toda potencia de diez es congruente con 1 módulo 9, de donde un número es congruente con la suma de sus cifras módulo 9 —y módulo 3—: de ahí los criterios del 3 y del 9 y la clásica «prueba del nueve». Como 10\equiv -1\pmod{11}, un número es congruente con la suma alternada de sus cifras módulo 11, lo que fundamenta el criterio del 11. Los criterios del 2, 5 y 10 dependen solo de la última cifra porque 10 es divisible por 2, 5 y 10; los del 4 y 8, de las dos y tres últimas, porque 100 es múltiplo de 4 y 1.000 de 8. Que estos criterios dependan de la base es una idea fértil que conecta directamente con la segunda mitad del tema: en base doce, por ejemplo, el papel que en base diez juega el 9 lo jugaría el 11, y el 2, el 3, el 4 y el 6 tendrían criterios de última cifra por ser divisores de doce. Presentar los criterios no como «trucos» a memorizar, sino como consecuencias visibles de la estructura posicional, es un ejemplo de transposición didáctica que eleva la comprensión y evita el aprendizaje mecánico.

Un ejemplo muestra la potencia de este enfoque. Para saber si 8.514 es divisible por 9, sumamos sus cifras, 8+5+1+4=18, y como 18 es múltiplo de 9, también lo es 8.514; el criterio no es magia, sino la consecuencia de que 8.514\equiv 8+5+1+4\pmod 9. Para el 11, la suma alternada de sus cifras, 4-1+5-8=0, es múltiplo de 11, luego 8.514=11\cdot 774 también lo es. Dominar la justificación permite, además, inventar criterios para divisores nuevos —el del 7, menos conocido, se obtiene agrupando las cifras de tres en tres con signos alternos, porque 1.000\equiv -1\pmod 7— y convierte al alumnado en creador de reglas en lugar de mero consumidor de ellas, un giro que encarna a la perfección el espíritu competencial de la LOMLOE.

7. Cardinalidad y numerabilidad: el infinito de Cantor

El conjunto \mathbb{N} es infinito, pero conviene precisar en qué sentido y con qué consecuencias, porque aquí se abre una de las ventanas más fascinantes de la matemática moderna. Una definición rigurosa de infinitud, debida a Dedekind, dice que un conjunto es infinito cuando puede ponerse en biyección con una parte propia de sí mismo. \mathbb{N} lo cumple de manera transparente: la aplicación n\mapsto 2n es una biyección entre \mathbb{N} y el conjunto de los números pares, que es un subconjunto propio. Este hecho, aparentemente paradójico —«hay tantos pares como naturales, aunque los pares sean solo la mitad»—, es la firma del infinito y ya había inquietado a Galileo en sus Diálogos (1638), al observar que había tantos cuadrados perfectos como números naturales.

La teoría que dio sentido cabal a estas paradojas es la teoría de conjuntos de Georg Cantor (1845-1918), quien a finales del XIX comprendió que el infinito admite grados o tamaños distintos. Dos conjuntos tienen el mismo cardinal cuando existe una biyección entre ellos. El cardinal de \mathbb{N} recibe el nombre de álef sub cero, \aleph_0, y todo conjunto con ese cardinal se llama numerable o contable: sus elementos pueden disponerse en una lista infinita indexada por los naturales, es decir, «pueden contarse». Aquí es donde cardinal y ordinal, que en lo finito coincidían (apartado 3.3), se separan de forma espectacular: hay muchos ordinales infinitos distintos con el mismo cardinal \aleph_0.

Una imagen célebre, ideada por David Hilbert, hace tangible esta aritmética del infinito: el hotel infinito. Un hotel con infinitas habitaciones, todas ocupadas, todavía puede alojar a un huésped nuevo si pide a cada cliente que se traslade de la habitación n a la n+1, liberando la primera; puede alojar a infinitos huéspedes nuevos enviando a cada cliente de la habitación n a la 2n, con lo que quedan libres todas las impares; e incluso puede acomodar a los pasajeros de infinitos autobuses infinitos, lo que reproduce la numerabilidad de \mathbb{N}\times\mathbb{N} y, con ella, la de \mathbb{Q}. La paradoja del hotel de Hilbert es un recurso didáctico de enorme fuerza para el aula de Bachillerato, porque enfrenta al alumnado con el hecho, contrario a toda intuición finita, de que «el todo puede tener el mismo tamaño que una de sus partes» sin caer por ello en contradicción.

Figura 8. Numerabilidad: la biyección n\mapsto 2n y el recorrido diagonal de Cantor que enumera los racionales.

Cantor demostró que muchos conjuntos aparentemente mayores que \mathbb{N} son, en realidad, numerables. El conjunto \mathbb{Z} de los enteros lo es —basta intercalar positivos y negativos: 0,1,-1,2,-2,\dots—. Y, más sorprendentemente, el conjunto \mathbb{Q} de los números racionales también es numerable, pese a ser denso en la recta: el célebre argumento diagonal de Cantor dispone las fracciones en una tabla de doble entrada y las recorre en zigzag, obteniendo así una enumeración. La numerabilidad de \mathbb{Q} es un resultado profundamente contraintuitivo y didácticamente muy potente para mostrar al alumnado avanzado que la intuición sobre «tamaños» necesita afinarse.

El contrapunto decisivo llegó cuando Cantor probó, mediante su segundo argumento diagonal (1891), que el conjunto \mathbb{R} de los números reales no es numerable: ninguna lista infinita puede agotarlos, porque siempre puede construirse un real que difiere del n-ésimo de la lista en su n-ésima cifra decimal. Existen, por tanto, infinitos estrictamente mayores que \aleph_0. Este descubrimiento, revolucionario y en su momento resistido con dureza por matemáticos como el propio Kronecker, abrió el estudio de los números transfinitos y planteó la célebre hipótesis del continuo. Para los propósitos de este tema basta retener la idea central: \mathbb{N} es el infinito «más pequeño», el modelo mismo de lo numerable, y sirve de patrón con el que se mide el tamaño de los demás conjuntos infinitos. Con Cantor, el infinito dejó de ser un tabú filosófico para convertirse en objeto matemático riguroso, un giro que David Hilbert celebró afirmando que nadie podría expulsarnos del «paraíso» que Cantor había creado.

La hipótesis del continuo —la conjetura de Cantor de que no existe ningún cardinal estrictamente comprendido entre \aleph_0 y el de \mathbb{R}— tuvo un desenlace tan asombroso como el propio problema: Kurt Gödel (1938) y Paul Cohen (1963) demostraron que es indecidible a partir de los axiomas usuales de la teoría de conjuntos, es decir, que pueden añadirse tanto ella como su negación sin generar contradicción. Fue el primer gran ejemplo de una afirmación matemática natural que los axiomas ni prueban ni refutan, un eco, en el terreno del infinito, de la incompletitud que reaparecerá en el apartado 10. Para el alumnado basta la idea luminosa de que existen «infinitos más grandes que otros»; para el opositor conviene retener que la escala de los infinitos esconde preguntas que desbordan los propios cimientos de la matemática.

8. Los sistemas de numeración: aditivos y posicionales. Recorrido histórico

8.1. Qué es un sistema de numeración

Una cosa es el número —el objeto abstracto que hemos construido— y otra su representación escrita. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos (cifras o guarismos) y de reglas que permiten escribir y nombrar todos los números mediante combinaciones de esos símbolos. La historia de estos sistemas es la historia de un largo esfuerzo por representar infinitas cantidades con un puñado finito de signos, y culmina en una de las invenciones más eficaces del ingenio humano: el sistema posicional decimal con cero. Es también una historia radicalmente intercultural, en la que civilizaciones muy alejadas en el espacio y el tiempo aportaron piezas distintas del rompecabezas. Presentarla así en el aula —valorando la contribución de Mesopotamia, Egipto, Mesoamérica, la India y el mundo islámico— es una oportunidad natural para educar en el respeto a la diversidad cultural y desmontar la falsa idea de que las matemáticas son un patrimonio de una única tradición, en línea con el ODS 4 y con la competencia ciudadana.

Los sistemas de numeración se clasifican, ante todo, según cómo determinan el valor de cada símbolo. En los sistemas aditivos, cada símbolo tiene un valor fijo independiente del lugar que ocupe, y el valor total se obtiene sumando —a veces con reglas sustractivas— los valores de los símbolos presentes. En los sistemas posicionales, en cambio, el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa dentro del número, de modo que un mismo símbolo vale distinto según su lugar. Esta segunda idea, la del valor posicional, es de una potencia incomparablemente mayor, pero tardó milenios en cristalizar plenamente.

Conviene fijar aquí una terminología que el alumnado —y a veces los propios manuales— confunde. El número es el objeto abstracto, la cantidad; el numeral o guarismo es el signo escrito que lo representa; y la cifra es cada uno de los símbolos elementales con que se forman los numerales. Así, el número «doce» es único, pero admite numerales distintos según el sistema: 12 en decimal, \mathrm{XII} en romano, 1100 en binario. Distinguir el número de su nombre es, como veremos, la idea rectora de toda la segunda mitad del tema y la fuente de los errores más profundos del aprendizaje: quien cree que «el número cambia» al cambiar de base confunde la cosa con su etiqueta.

8.2. Los sistemas aditivos

Entre los sistemas históricos aditivos, el egipcio —numeración jeroglífica, hacia el 3000 a.C.— empleaba una base diez con símbolos distintos para la unidad, la decena (un arco), la centena (una cuerda enrollada), el millar (una flor de loto), y así sucesivamente; el número se escribía repitiendo cada símbolo tantas veces como fuera necesario y sumando: era decimal pero no posicional, y carecía de cero. El sistema romano, que ha llegado hasta nosotros en relojes, capítulos y nombres de reyes, usa las letras I, V, X, L, C, D, M con valores fijos y combina la suma con una regla sustractiva —IV vale 4, IX vale 9—: es también esencialmente aditivo, cómodo para inscripciones pero muy incómodo para calcular, lo que en su época obligaba al uso del ábaco. La numeración griega alfabética (jónica) asignaba valores numéricos a las letras del alfabeto y era igualmente aditiva.

Un rasgo notable de estos sistemas aditivos es que la lectura del número apenas depende del orden de los símbolos —precisamente porque el valor de cada uno es fijo—; esa independencia del orden, que hoy nos parece una limitación, evidencia por contraste la genialidad del principio posicional, en el que el orden lo es todo. La numeración china tradicional, por su parte, desarrolló un sistema híbrido con caracteres para las potencias de diez, y los sistemas de conteo con partes del cuerpo o con cuerdas anudadas —los quipus incas— recuerdan que registrar cantidades ha sido una necesidad universal resuelta con enorme ingenio y variedad por todas las culturas. Presentar esta pluralidad al alumnado educa en el respeto intercultural y desactiva la idea etnocéntrica de que existe una única forma «natural» de contar.

8.3. Los sistemas posicionales antiguos

En la vertiente posicional, dos civilizaciones antiguas dieron pasos decisivos. Los babilonios, a partir del segundo milenio a.C., desarrollaron un sistema posicional de base sesenta (sexagesimal), escrito en cuneiforme con solo dos signos combinados; fue el primer sistema posicional de la historia, y su legado perdura hoy en la medida del tiempo —60 minutos, 60 segundos— y de los ángulos —360 grados—. Su gran limitación fue la ausencia, durante siglos, de un símbolo para el cero: dejaban un hueco, lo que generaba ambigüedades, hasta que en época tardía introdujeron un signo separador que, sin embargo, nunca funcionó plenamente como cifra. La civilización maya, en Mesoamérica, desarrolló de forma independiente un sistema posicional de base veinte (vigesimal) que, notablemente, sí disponía de un símbolo para el cero —una concha estilizada—, junto con el punto (unidad) y la barra (cinco); fue uno de los primeros usos plenos del cero como cifra en la historia de la humanidad, al servicio de una astronomía y un calendario de gran precisión.

La elección babilónica de la base sesenta no fue arbitraria: 60 es un número con muchos divisores (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30 y 60), lo que facilita el reparto y las fracciones, una ventaja práctica que explica su asombrosa longevidad en la medida del tiempo y de los ángulos. De los babilonios procede también la costumbre de dividir la circunferencia en 360 partes, cifra próxima a los días del año y divisible por multitud de factores. En cuanto al sistema romano, sus reglas merecen precisarse para el aula: los símbolos I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces, mientras que V, L y D no se repiten; la regla sustractiva permite anteponer a un símbolo mayor uno menor de valor diez o cinco veces inferior (IV, IX, XL, XC, CD, CM), lo que evita repeticiones largas. Su gran inconveniente, que conviene hacer notar, es la ausencia de un algoritmo de cálculo cómodo: multiplicar CXXIV por XXIII a mano es una pesadilla que en la Antigüedad se resolvía con el ábaco, y esa dificultad operativa —no la estética— es la que acabó imponiendo el sistema indoarábigo. Los egipcios, por su parte, legaron un ingenioso sistema de fracciones unitarias, de numerador uno, cuya aritmética, conservada en el papiro Rhind, revela un notable dominio del cálculo pese a la ausencia de notación posicional.

Figura 9. Comparativa de sistemas de numeración históricos: base, tipo y presencia del cero.

8.4. La síntesis indoarábiga

La síntesis definitiva es el sistema indoarábigo, base de nuestra numeración actual. Fue elaborado en la India entre los siglos V y VII, donde confluyeron tres ideas geniales: la base diez, el principio posicional y, sobre todo, el cero como cifra de pleno derecho —el śūnya sánscrito, «vacío»—. El matemático Brahmagupta, en el año 628, fue el primero en formular reglas aritméticas explícitas para operar con el cero y con los números negativos. Este sistema fue asimilado y difundido por los matemáticos del mundo islámico —de manera señalada por Al-Juarismi (Al-Khwārizmī), hacia el 825, de cuyo nombre latinizado procede la palabra algoritmo, y de cuya obra procede el término álgebra—. Su llegada a Europa se debe sobre todo a Leonardo de Pisa, Fibonacci, que en su Liber Abaci (1202) expuso las ventajas de las «cifras indias» frente a la engorrosa numeración romana. La difusión no fue inmediata —hubo resistencias durante siglos, incluso prohibiciones municipales por temor al fraude—, pero el nuevo sistema acabó imponiéndose por su eficacia insuperable para el cálculo, y con él la aritmética escrita se democratizó y dejó de depender del ábaco.

La propia palabra cifra atestigua este viaje: procede del árabe ṣifr, traducción del sánscrito śūnya («vacío»), que designaba el cero; a través del latín medieval zephirum dio también nuestro cero. Que el nombre del cero acabara designando a cualquier guarismo revela hasta qué punto se percibió como la innovación central del sistema. El retraso europeo en adoptarlo —los llamados algoristas, partidarios del cálculo con cifras, se enfrentaron durante siglos a los abacistas, defensores del ábaco— ilustra bien cómo las mejores ideas técnicas no se imponen de inmediato, sino que compiten con la inercia cultural, una reflexión trasladable a muchas innovaciones educativas y tecnológicas actuales.

Conviene, al hilo de este recorrido, dar su lugar a Hipatia de Alejandría (c. 355-415), la primera mujer matemática de la que conservamos noticia detallada. Directora de la escuela neoplatónica de Alejandría, comentó y editó obras fundamentales de la Antigüedad —la Aritmética de Diofanto, las Cónicas de Apolonio, el Almagesto de Ptolomeo—, contribuyendo a preservar y transmitir el saber matemático griego, incluida la teoría de números que Diofanto había iniciado y que reaparecerá en el apartado 10. Su figura, tantas veces relegada, recuerda que la ciencia matemática nunca fue un dominio exclusivamente masculino, y ofrece al aula un referente histórico que el docente puede integrar sin forzar el relato.

9. El valor posicional y la base: cambio de base y bases de la informática

9.1. El teorema fundamental de la numeración

El corazón del sistema indoarábigo, y de cualquier sistema posicional, es el teorema fundamental de la numeración, que precisa cómo se interpreta una cadena de cifras. Fijada una base b —un natural mayor que 1—, se dispone de b cifras distintas (0,1,\dots,b-1) y todo número natural N se escribe de forma única como

donde cada c_i es una cifra entre 0 y b-1. La escritura posicional c_kc_{k-1}\dots c_1c_0 no es más que la lista de esos coeficientes. Así, en base diez, 3.407 = 3\cdot 10^3 + 4\cdot 10^2 + 0\cdot 10 + 7: el mismo símbolo 3 vale tres mil por ocupar la posición de los millares, mientras que el 7 vale siete unidades. La existencia y unicidad de esta representación se demuestran precisamente con el algoritmo de la división euclídea aplicado repetidamente, lo que conecta esta parte del tema con la primera y muestra la profunda unidad del temario.

Figura 10. Descomposición en valor posicional de 3.407; el cero marca la posición de las decenas.

El cero desempeña aquí un papel insustituible: es la cifra que «marca la posición vacía», la que permite distinguir 3.407 de 347 y hace posible el propio principio posicional. Sin el cero, el valor de posición sería ambiguo; con él, el sistema alcanza su plena potencia y economía. Comprender el cero como marcador de posición —y no como mera «nada»— es, para el alumnado, uno de los saltos conceptuales más importantes de toda la aritmética escolar, y uno de los que más errores genera: es habitual que un estudiante que domina la serie oral tropiece al escribir «doscientos cinco» como 25 en lugar de 205, precisamente por no haber integrado el papel del cero.

9.2. El cambio de base

El cambio de base es la operación que traduce la representación de un número de una base a otra. Para pasar de base diez a base b, se aplica el método de divisiones sucesivas: se divide el número entre b, se guarda el resto —que será la última cifra—, se divide el cociente de nuevo entre b, y así hasta llegar a cociente cero; las cifras del número en base b son los restos leídos en orden inverso. Para el camino inverso, de base b a base diez, basta aplicar el teorema fundamental de la numeración, esto es, desarrollar la suma de cifras por potencias de b.

Figura 11. Cambio de base por divisiones sucesivas: 13 en decimal es 1101 en binario.

Por ejemplo, el número decimal 13 se escribe 1101 en base dos, pues al dividir sucesivamente entre 2 se obtienen los restos 1,0,1,1, que leídos de abajo arriba dan 1101; y, en efecto, 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2 + 1 = 8+4+0+1 = 13. Practicar estas conversiones tiene un enorme valor formativo: obliga al alumnado a comprender por qué funcionan los algoritmos que había mecanizado, a distinguir el número de su representación y a percibir que el sistema decimal, lejos de ser una verdad natural, es una convención entre infinitas posibles —probablemente heredada de nuestros diez dedos—. Es, quizá, la mejor vacuna contra la confusión entre el número y el nombre que le damos.

9.3. Binario, octal, hexadecimal y la representación de la información

Las bases con especial relevancia práctica son la binaria, la octal y la hexadecimal. El sistema binario (base dos) emplea solo las cifras 0 y 1 y es el lenguaje interno de todos los dispositivos digitales: cada cifra binaria, o bit (binary digit), corresponde a uno de los dos estados eléctricos elementales —apagado/encendido, 0/1— con los que trabaja la electrónica. La elección de la base dos no es un capricho: es la base mínima posible y, por ello, la más robusta frente al ruido físico, pues distinguir de forma fiable entre dos niveles de tensión es mucho más sencillo que entre diez. El sistema octal (base ocho) y, sobre todo, el hexadecimal (base dieciséis, con cifras 0-9 y las letras A-F para los valores diez a quince) se usan en informática como notaciones abreviadas del binario: como 8=2^3 y 16=2^4, cada cifra octal agrupa tres bits y cada cifra hexadecimal agrupa cuatro, lo que permite escribir de forma compacta y legible largas cadenas de bits —una dirección de memoria, un color RGB como #FF00A0—. Esta relación explica por qué el hexadecimal es omnipresente en programación. Veámoslo: el byte binario 1010\,0011_2 se agrupa en dos bloques de cuatro bits, 1010 y 0011, que valen 10 y 3; como en hexadecimal el 10 se escribe A, el byte se representa de forma compacta como A3, mucho más legible que la cadena de ocho bits. Del mismo modo, un color de la web como #FF00A0 codifica tres bytes —rojo 255, verde 0, azul 160—, y una dirección de memoria de 32 bits cabe en solo ocho dígitos hexadecimales. Esta economía notacional, que reduce la longitud y los errores de transcripción, es la razón práctica de que programadores y sistemas usen el hexadecimal en todas partes.

La aritmética en distintas bases obedece a los mismos algoritmos que la decimal, con la única salvedad de que las «llevadas» se producen al alcanzar la base correspondiente en lugar de al alcanzar diez. Sumar 1+1 en binario da 10 —cero y me llevo una—, del mismo modo que 9+1 da 10 en decimal. Ilustrémoslo con una suma binaria completa, 1011_2 + 0110_2, operando columna a columna de derecha a izquierda: 1+0=1; 1+1=10, escribo 0 y llevo 1; 0+1+1=10, escribo 0 y llevo 1; 1+0+1=10, escribo 0 y llevo 1, que se anota a la izquierda. El resultado es 10001_2, es decir, 17 en decimal, que coincide con 11+6=17. Comprender que las cuatro operaciones que el alumnado domina en base diez son casos particulares de un mismo mecanismo universal prepara el terreno para entender cómo un procesador —que en el fondo solo sabe sumar bits— realiza en realidad todo el cálculo. Esta base binaria conecta el tema, de manera directa, con la digitalización que impregna la vida contemporánea: la eficiencia energética de los centros de datos, el consumo de los dispositivos y la propia brecha digital que el sistema educativo tiene el deber de reducir (ODS 4 y ODS 9) son consecuencias, en última instancia, de decisiones que arrancan en la representación binaria de la información. Que un contenido tan clásico como los sistemas de numeración sea el fundamento de la sociedad digital es una idea poderosa que el alumnado agradece descubrir.

10. Categoricidad, incompletitud y la base dos como fundamento de la información

Los dos grandes bloques del tema —la fundamentación de \mathbb{N} y los sistemas de numeración— pueden parecer independientes, pero convergen en dos ideas de nivel superior que un tribunal aprecia especialmente porque revelan una comprensión madura de la materia. La primera pertenece a la lógica matemática; la segunda, a la teoría de la información.

10.1. Categoricidad de segundo orden e incompletitud de Gödel

La primera es la categoricidad de la aritmética de Peano y sus límites, una cuestión que ilumina el propio estatuto de los axiomas. Cabe preguntarse: los cinco axiomas de Peano, ¿determinan un único objeto \mathbb{N}, o admiten «modelos» distintos? La respuesta depende de cómo se formule el quinto axioma, el de inducción. Si se enuncia en lógica de segundo orden —cuantificando sobre todos los subconjuntos de \mathbb{N}, tal como lo escribimos en el apartado 2—, entonces Dedekind demostró un resultado espléndido: los axiomas son categóricos, es decir, dos estructuras cualesquiera que los satisfagan son necesariamente isomorfas. Existe entre ellas una biyección que respeta el cero y el sucesor; en otras palabras, \mathbb{N} es único salvo la etiqueta de sus elementos. Esta unicidad justifica que hablemos de los números naturales, en singular, y es la razón profunda por la que la construcción de von Neumann y cualquier otra producen «lo mismo».

Ahora bien, si el axioma de inducción se formula en lógica de primer orden —reemplazando la cuantificación sobre subconjuntos por un esquema con una fórmula para cada propiedad expresable en el lenguaje—, el panorama cambia radicalmente. El teorema de Löwenheim-Skolem y el teorema de compacidad garantizan entonces la existencia de modelos no estándar de la aritmética: estructuras que satisfacen todos los axiomas de Peano de primer orden pero que contienen «números infinitos», ajenos a la cadena usual. La aritmética de primer orden no es categórica. Y a esto se suma el resultado más célebre de la lógica del siglo XX, el primer teorema de incompletitud de Kurt Gödel (1931): cualquier sistema formal consistente y suficientemente rico para contener la aritmética alberga proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse dentro del sistema. Los números naturales, el objeto matemático más humilde, resultan encerrar una complejidad lógica inagotable.

Merece una palabra sobre qué aspecto tienen esos modelos no estándar, pues suelen quedar como una etiqueta misteriosa. En un modelo no estándar de la aritmética de primer orden conviven los naturales «de siempre» —0,1,2,\dots, que forman un segmento inicial— con «números infinitos» adicionales, mayores que todos ellos, organizados en bloques con la estructura de \mathbb{Z} que se prolongan sin fin. Tales números satisfacen las mismas fórmulas de primer orden que los naturales usuales y, sin embargo, no pertenecen a la cadena generada por el sucesor a partir del cero: son los intrusos que el axioma de inducción de segundo orden expulsaría, pero que el esquema de primer orden es incapaz de detectar. Esta sutileza, lejos de ser una mera curiosidad, dio origen al análisis no estándar de Abraham Robinson, que rehabilitó con todo rigor los infinitésimos que Leibniz había manejado dos siglos antes.

En esta encrucijada brilla una matemática injustamente poco conocida: Julia Robinson (1919-1985), primera mujer presidenta de la American Mathematical Society. Su trabajo fue decisivo en la resolución del décimo problema de Hilbert, que preguntaba si existe un algoritmo capaz de decidir, para cualquier ecuación diofántica (ecuación polinómica con soluciones enteras), si tiene o no solución. Robinson, junto con Martin Davis y Hilary Putnam, y con la pieza final aportada en 1970 por Yuri Matiyasévich, demostró que tal algoritmo no existe: la solubilidad de las ecuaciones diofánticas es indecidible. Es un resultado que hermana los dos extremos del tema —los números naturales de Peano y los límites de la computación— y que prolonga la línea que arranca en la Aritmética de Diofanto, aquella misma obra que Hipatia había comentado quince siglos antes. Saber distinguir la categoricidad de segundo orden de la incompletitud de primer orden, y coronarlo con la indecidibilidad de lo diofántico, coloca al opositor en un plano de comprensión que trasciende la mera exposición manual.

10.2. La base dos y la teoría de la información

La segunda idea de nivel superior es el puente entre el principio posicional y la representación de la información, que conecta la matemática más antigua con la tecnología más contemporánea. Sobre la base binaria se levanta toda la teoría de la información que Claude Shannon fundó en 1948, en la que el bit es la unidad elemental de información y toda cantidad de datos —texto, imagen, sonido, vídeo— se codifica finalmente como una sucesión de ceros y unos. Fue precisamente Shannon quien, ya en su tesis de 1937, mostró que el álgebra de Boole —la lógica de dos valores, verdadero/falso— podía implementarse mediante circuitos de conmutación, unificando en un mismo formalismo la lógica, la aritmética binaria y la electrónica.

La medida de la información en bits tiene consecuencias que el alumnado usa a diario sin advertirlo: un byte son ocho bits y permite 2^8=256 combinaciones, suficientes para codificar los caracteres del código ASCII; un kibibyte son 2^{10}=1.024 bytes; y las unidades mayores —mebibyte, gibibyte— siguen creciendo como potencias de dos, no de diez, de ahí la eterna confusión entre los 1.000 del prefijo comercial y los 1.024 del binario. Shannon fue además quien definió, mediante su entropía, la cantidad mínima de bits necesaria para codificar un mensaje, fundamento de toda la compresión de datos —de los formatos ZIP, JPEG o MP3— que hace viable almacenar y transmitir información de forma eficiente. Y esta eficiencia no es neutra desde el punto de vista de la sostenibilidad: cada bit transmitido consume energía, de modo que optimizar la codificación —menos bits para la misma información— se traduce en menor consumo de los centros de datos, un vínculo directo entre la aritmética binaria de este tema y el ODS 7 (energía asequible y no contaminante) y el ODS 12 (producción y consumo responsables).

La historia de la computación binaria tiene, además, protagonistas femeninas de primer orden que conviene nombrar donde corresponde. Ada Lovelace (1815-1852), colaboradora de Charles Babbage en el diseño de la máquina analítica, escribió lo que suele considerarse el primer algoritmo destinado a ser ejecutado por una máquina y anticipó, con lucidez asombrosa, que estos dispositivos podrían manipular no solo números sino cualquier información susceptible de codificarse. Un siglo después, Grace Hopper (1906-1992), oficial de la Armada estadounidense y una de las programadoras del computador Harvard Mark I, fue pionera de los lenguajes de programación y del concepto de compilador, e impulsó el lenguaje COBOL; a ella se atribuye la popularización del término bug para designar un fallo informático. Ambas encarnan cómo la aritmética binaria pasó del papel a las máquinas gracias, también, al talento de mujeres cuyo reconocimiento fue tardío.

El resultado es una cadena conceptual que recorre veinticinco siglos: los números naturales que Peano axiomatizó se representan según el principio posicional que la India perfeccionó; ese principio, en base dos, produce el binario; el binario se corresponde con los dos valores del álgebra de Boole; y esos valores se materializan en los circuitos que hacen funcionar cualquier ordenador. Contar, escribir números y computar información son, en el fondo, tres facetas de una misma idea. Mostrar esta unidad ante un tribunal —y, adaptada, ante el alumnado— demuestra que las matemáticas del Tema 1 no son una reliquia escolar, sino el fundamento vivo del mundo digital.

11. Aplicación didáctica y relación con el currículo

Los contenidos de este tema constituyen la base de la formación matemática de toda la etapa y aparecen, con distinto grado de profundidad, a lo largo de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. El marco normativo vigente en la Comunitat Valenciana lo establecen la Ley Orgánica 2/2006 (LOE), modificada por la Ley Orgánica 3/2020 (LOMLOE); el Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, que fija las enseñanzas mínimas de la ESO; el Real Decreto 243/2022, de 5 de abril, que hace lo propio con el Bachillerato; y, en el ámbito autonómico, el Decreto 107/2022, de 5 de agosto, del Consell, que establece el currículo de la ESO en la Comunitat Valenciana, junto con el Decreto 108/2022, de 5 de agosto, para el Bachillerato. Aunque los cuatro ejes —conexión con el currículo, dimensión didáctica, sostenibilidad e inclusión— se han ido tejiendo a lo largo del desarrollo, conviene aquí consolidarlos.

El currículo LOMLOE de Matemáticas se organiza en torno a un enfoque competencial y estructura los saberes básicos en seis grandes bloques o «sentidos»: sentido numérico, sentido de la medida, sentido espacial, sentido algebraico, sentido estocástico y sentido socioafectivo. Los contenidos de este tema pertenecen de lleno al sentido numérico, que agrupa el conocimiento de los conjuntos numéricos, sus propiedades y sus operaciones, la estimación y el cálculo, y las relaciones aritméticas como la divisibilidad. En los primeros cursos de la ESO —1.º y 2.º— se abordan de manera explícita los números naturales y sus operaciones, la divisibilidad (múltiplos, divisores, números primos, factorización, mcd y mcm) y las estrategias de cálculo mental y estimación; aspectos como la comparación de sistemas de numeración o el trabajo en otras bases pueden introducirse como situaciones de enriquecimiento y de conexión con el pensamiento computacional. En el Bachillerato de Ciencias y Tecnología, las materias de Matemáticas I y II permiten profundizar en la inducción, la recursión y, para el alumnado más avanzado, asomar a las cuestiones de fundamentos que hemos tratado.

El enfoque competencial se concreta en las competencias específicas de la materia, que orientan qué debe ser capaz de hacer el alumnado: resolver problemas movilizando saberes numéricos; formular conjeturas y razonar (donde la inducción y la demostración de la infinitud de los primos son ejemplos ideales); desarrollar el pensamiento computacional mediante algoritmos (el de Euclides o el de cambio de base); establecer conexiones entre distintos saberes matemáticos, con otras áreas y con la vida cotidiana; comunicar y representar ideas matemáticas; y gestionar las destrezas socioafectivas frente al error y la frustración, integradas en el sentido socioafectivo. La evaluación se realiza mediante criterios de evaluación asociados a estas competencias y se orienta a situaciones de aprendizaje contextualizadas.

La experiencia docente ha identificado errores y preconcepciones frecuentes cuyo conocimiento permite una intervención más eficaz. Es habitual la confusión entre múltiplo y divisor, o entre factor y producto. Muchos estudiantes creen que el 1 es primo, o dudan de que el 2 lo sea por ser par; conviene insistir en la definición y en la convención sobre el 1. En el terreno de la representación, el error más profundo es no distinguir el número de su escritura: confundir la cifra con el valor posicional, no comprender el papel del cero como marcador de posición o extender indebidamente las intuiciones del sistema decimal. El trabajo con otras bases es, precisamente, un recurso didáctico de primer orden para desarraigar estas confusiones, porque obliga a explicitar el mecanismo posicional que en decimal permanece oculto por la costumbre.

Metodológicamente, resultan valiosos los materiales manipulativos —los bloques multibase de Dienes o «bloques base diez», que hacen tangible el agrupamiento y el canje entre unidades, decenas y centenas, y el ábaco, que materializa el valor posicional—, el enfoque histórico como hilo motivador e intercultural, la resolución de problemas al estilo de Pólya, la gamificación (los criterios de divisibilidad como «trucos», juegos de codificación binaria, el sistema de numeración maya como reto) y la conexión con la competencia digital a través del pensamiento computacional. Una situación de aprendizaje eficaz para 1.º-2.º de ESO es el proyecto «Del ábaco al bit»: el alumnado investiga un sistema de numeración histórico, lo compara con el decimal, codifica su nombre en binario y programa el algoritmo de Euclides, integrando historia, matemáticas y tecnología en un producto final. La atención a la diversidad y el Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA) aconsejan presentar cada concepto por varias vías —manipulativa, gráfica y simbólica—, ofrecer distintos niveles de reto y emplear un lenguaje inclusivo que visibilice por igual a alumnas y alumnos, así como referentes matemáticos diversos. Traer al aula figuras como Hipatia, Emmy Noether, Julia Robinson, Ada Lovelace, Grace Hopper o la iraní Maryam Mirzakhani —primera y única mujer, hasta hoy, en recibir la Medalla Fields (2014)— no es un adorno: es una herramienta poderosa para que ninguna alumna sienta que las matemáticas no son «para ella», contribuyendo a la equidad de género que persiguen el ODS 4, el ODS 5 y el propio principio de inclusión educativa de la LOMLOE.

En cuanto a la evaluación, coherente con el enfoque competencial, conviene combinar instrumentos variados —la observación del trabajo con materiales manipulativos, portafolios donde el alumnado documente su investigación histórica, pruebas de cálculo con y sin calculadora, y rúbricas que valoren no solo el resultado sino el razonamiento y la comunicación—, evitando reducir la calificación a la mera corrección de operaciones. La interdisciplinariedad es natural en este tema: con Geografía e Historia al estudiar las civilizaciones y sus sistemas de numeración; con Tecnología y Digitalización al codificar en binario y programar algoritmos; con Lengua al analizar la etimología de cifra, álgebra o algoritmo; e incluso con Educación Plástica al reproducir los glifos mayas o los jeroglíficos egipcios. Este carácter transversal convierte el Tema 1 en un excelente punto de partida para un proyecto interdisciplinar de centro que dé sentido y motivación a unos saberes básicos que, presentados de forma aislada, corren el riesgo de parecer áridos.

12. Conclusión

Recorrer los números naturales y los sistemas de numeración es recorrer, en miniatura, la aventura entera de la matemática. Partimos de la intuición más elemental —contar— y la elevamos, con Dedekind y Peano, a un edificio axiomático de una precisión asombrosa; vimos cómo Frege, Russell y von Neumann quisieron construir el número desde la pura lógica, y cómo el cardinal y el ordinal revelan sus dos rostros; comprobamos que sobre cinco axiomas y una definición recursiva se levanta, por inducción, toda la aritmética, con sus operaciones, su orden y su divisibilidad; asomamos, con Cantor, al abismo del infinito y descubrimos que \mathbb{N} es el patrón mismo de lo numerable. Y en la segunda mitad seguimos el largo camino intercultural de la humanidad para representar esos números, desde los signos aditivos de Egipto y Roma hasta el sistema posicional con cero que la India legó al mundo, culminando en la base dos que hoy hace latir toda la tecnología digital.

El valor formativo de este tema no reside solo en su contenido, sino en las ideas transversales que lo atraviesan y que el docente debe hacer visibles: la distinción entre el número y su representación, la potencia del razonamiento por inducción, el papel decisivo del cero, la fecundidad de la divisibilidad y la unidad profunda que enlaza la matemática más antigua con la informática más actual. Dominar este tema con rigor —desde la categoricidad de segundo orden hasta el algoritmo de Euclides, desde el argumento diagonal de Cantor hasta el cambio de base— y saber transponerlo al aula con sensibilidad hacia la diversidad, la equidad de género y la sostenibilidad, permite al futuro profesor o profesora presentar, ante el tribunal y después ante el alumnado, no una colección de reglas dispersas, sino un relato coherente y exigente sobre qué es un número y cómo lo escribimos. En ese relato, que empieza en los dedos de la mano y termina en los circuitos de un ordenador, se cifra buena parte de la belleza y de la utilidad de las matemáticas que estamos llamados a enseñar.

13. Bibliografía y referencias

(a) Referencias científicas y matemáticas

• Peano, G. (1889). Arithmetices principia, nova methodo exposita. Fratres Bocca.
• Dedekind, R. (1998). ¿Qué son y para qué sirven los números? (edición de J. Ferreirós). Alianza Editorial. (Original: Was sind und was sollen die Zahlen?, 1888.)
• Cantor, G. (2006). Fundamentos para una teoría general de conjuntos (edición de J. Ferreirós). Crítica. (Escritos de 1883-1895.)
• Frege, G. (1972). Fundamentos de la aritmética (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884). Laia.
• Gödel, K. (1931). «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I». Monatshefte für Mathematik und Physik, 38.
• Ifrah, G. (1997). Historia universal de las cifras. Espasa Calpe.
• Courant, R. y Robbins, H. (2002). ¿Qué es la matemática? Una exposición elemental de sus ideas y métodos. Fondo de Cultura Económica. (Original: What Is Mathematics?, 1941.)
• Euclides (1991-1996). Elementos (traducción y notas de M. L. Puertas Castaños). Gredos.
• Hardy, G. H. y Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6.ª ed.). Oxford University Press.
• Boyer, C. B. (1986). Historia de la matemática. Alianza Editorial.
• Ferreirós, J. (2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (2.ª ed.). Birkhäuser.
• Reid, C. (1996). Julia. A Life in Mathematics. Mathematical Association of America.
• Enzensberger, H. M. (1997). El diablo de los números. Siruela.

(b) Referencias normativas

• Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE), modificada por la Ley Orgánica 3/2020, de 29 de diciembre (LOMLOE). BOE núm. 340, de 30 de diciembre de 2020.
• Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria Obligatoria. BOE núm. 76, de 30 de marzo de 2022.
• Real Decreto 243/2022, de 5 de abril, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mínimas del Bachillerato. BOE núm. 82, de 6 de abril de 2022.
• Decreto 107/2022, de 5 de agosto, del Consell, de ordenación y currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunitat Valenciana. DOGV núm. 9403, de 11 de agosto de 2022.
• Decreto 108/2022, de 5 de agosto, del Consell, de ordenación y currículo del Bachillerato en la Comunitat Valenciana. DOGV núm. 9403, de 11 de agosto de 2022.
• Recomendación del Consejo de la Unión Europea, de 22 de mayo de 2018, relativa a las competencias clave para el aprendizaje permanente. DOUE C 189, de 4 de junio de 2018.
• Naciones Unidas (2015). Transformar nuestro mundo: la Agenda 2030 para el Desarrollo Sostenible (Objetivos de Desarrollo Sostenible). Resolución A/RES/70/1.

Orientaciones para el estudio

• Memorice los cinco axiomas de Peano en orden y sepa explicar la función de cada uno, en especial la del axioma de inducción, que es el que da a \mathbb{N} su identidad expulsando a los «intrusos». El tribunal valora que se distinga el papel de cada axioma, no que se reciten sin comprensión.
• Domine la doble lectura de la inducción: como método de demostración (caso base y paso inductivo) y como fundamento del teorema de recursión que legitima la definición de suma y producto. Tenga preparada una demostración corta por inducción —por ejemplo, que 0+1+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}— para exponerla si surge la ocasión.
• Prepare con solvencia el algoritmo de Euclides y el teorema fundamental de la aritmética, con la demostración de Euclides sobre la infinitud de los primos. Son resultados nucleares que reaparecen en varios temas de teoría de números y conviene poder reproducirlos de memoria, incluida la identidad de Bézout.
• Estudie el argumento diagonal de Cantor en sus dos versiones: la que prueba que \mathbb{Q} es numerable y la que prueba que \mathbb{R} no lo es. Es el contenido de mayor nivel del bloque de cardinalidad y causa muy buena impresión bien explicado.
• No descuide el recorrido histórico: tenga claras las cinco civilizaciones clave (egipcia, babilónica sexagesimal, romana, maya vigesimal e indoarábiga) con una idea distintiva de cada una y el papel decisivo del cero. Preséntelo como una historia intercultural; Ifrah es la referencia obligada para citar.
• Practique hasta automatizar el cambio de base por divisiones sucesivas y la aritmética en binario, y tenga a punto el puente con la informática (bit, hexadecimal, álgebra de Boole, Shannon, Lovelace y Hopper). Este enlace matemática-tecnología es un excelente cierre y un contenido diferenciador.
• Cuide el apartado diferenciador sin excederse: distinguir categoricidad de segundo orden (Dedekind) e incompletitud de primer orden (Gödel), y rematar con la indecidibilidad del décimo problema de Hilbert (Julia Robinson y Matiyasévich), demuestra madurez, pero solo si se expone con seguridad. Si duda de un dato, sustitúyalo por otro del que tenga certeza.
• Integre a las mujeres matemáticas donde son pertinentes —Hipatia en la Antigüedad, Noether en las estructuras, Cantor y el infinito, Robinson en la lógica, Lovelace y Hopper en el binario, Mirzakhani como referente— y no en un apartado final; el tribunal valora la naturalidad de esta perspectiva de género.
• Ensaye la conexión con el currículo valenciano citando con precisión el RD 217/2022 y el Decreto 107/2022, situando los contenidos en el sentido numérico, mencionando errores frecuentes, materiales manipulativos (bloques base diez, ábaco), el DUA y una situación de aprendizaje concreta. Ligar el rigor matemático con su transposición didáctica es lo que separa una exposición notable de una sobresaliente.