Cuestión 1 — Criterio de divisibilidad por 11
Demostración. Sea N un natural escrito en base 10 con cifras a_k a_{k-1}\ldots a_1 a_0, es decir
N = \sum_{i=0}^{k} a_i \cdot 10^{i}, \qquad 0 \le a_i \le 9 .
Como 10 = 11 - 1, se tiene 10 \equiv -1 \pmod{11} y, por la compatibilidad de la congruencia con el producto,
10^{i} \equiv (-1)^{i} \pmod{11}.
Sustituyendo en la escritura posicional y usando la compatibilidad con la suma:
N \equiv \sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^{i} = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots \pmod{11}.
Por tanto:
\boxed{\;11 \mid N \iff 11 \mid \big(a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots\big)\;}
es decir, N es múltiplo de 11 si y solo si lo es la suma alternada de sus cifras, empezando con signo + en las unidades.
Aplicación a N = 8\,471\,936. Sus cifras, de las unidades hacia la izquierda, son 6,\;3,\;9,\;1,\;7,\;4,\;8:
S = 6 - 3 + 9 - 1 + 7 - 4 + 8 = 22 .
Como 22 = 11 \cdot 2 es múltiplo de 11, también lo es N. En efecto, 8\,471\,936 = 11 \cdot 770\,176.
\boxed{N = 8\,471\,936 \text{ es múltiplo de } 11}
Cuestión 2 — Resto de 7^{2026} entre 13
Como 13 es primo y 13 \nmid 7, el pequeño teorema de Fermat garantiza
7^{12} \equiv 1 \pmod{13},
de modo que el orden de 7 módulo 13 existe y divide a 12. Calculamos los restos potenciales para determinarlo con exactitud:
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 7^{i} \bmod 13 |
7 |
10 |
5 |
9 |
11 |
12 |
6 |
3 |
8 |
4 |
2 |
1 |
El primer exponente que devuelve 1 es el 12, luego \mathrm{ord}_{13}(7) = 12 (7 es raíz primitiva módulo 13).
Dividimos el exponente entre el orden:
2026 = 12 \cdot 168 + 10 .
Por tanto:
7^{2026} = \left(7^{12}\right)^{168} \cdot 7^{10} \equiv 1^{168} \cdot 7^{10} \equiv 4 \pmod{13}.
\boxed{\text{El resto de dividir } 7^{2026} \text{ entre } 13 \text{ es } 4}
Cuestión 3 — Dos últimas cifras de 3^{1000}
Las dos últimas cifras de un número son su resto módulo 100.
Como 100 = 2^2 \cdot 5^2 y \mathrm{mcd}(3,100) = 1, puede aplicarse el teorema de Euler-Fermat, a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m. Calculamos la indicatriz:
\varphi(100) = 100 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = 40 .
Luego 3^{40} \equiv 1 \pmod{100} y, como 1000 = 40 \cdot 25,
3^{1000} = \left(3^{40}\right)^{25} \equiv 1^{25} = 1 \pmod{100}.
El resto es 1, que expresado con dos cifras es 01:
\boxed{3^{1000} \text{ termina en } \mathbf{01}}
Comprobación independiente. 3^{10} = 59\,049 \equiv 49, y 3^{20} \equiv 49^2 = 2401 \equiv 1 \pmod{100}: el orden real de 3 módulo 100 es 20, divisor de \varphi(100)=40 como exige el teorema de Lagrange aplicado al grupo (\mathbb{Z}/100\mathbb{Z})^{*}. Como 20 \mid 1000, se llega a la misma conclusión.
Cuestión 4 — 30 \mid n^5 - n para todo entero n
Como 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 es producto de primos distintos, basta probar la divisibilidad por cada uno de ellos: si 2\mid A, 3\mid A y 5\mid A, entonces \mathrm{mcm}(2,3,5)=30 divide a A.
Divisibilidad por 5. Por el pequeño teorema de Fermat con p=5: n^5 \equiv n \pmod 5 para todo entero n (si 5\mid n es inmediato; si no, n^4\equiv 1 y se multiplica por n). Luego 5 \mid n^5 - n.
Divisibilidad por 3. De nuevo por Fermat con p=3: n^3 \equiv n \pmod 3. Entonces
n^5 = n^3 \cdot n^2 \equiv n \cdot n^2 = n^3 \equiv n \pmod 3,
y por tanto 3 \mid n^5 - n.
Divisibilidad por 2. Con p=2: n^2 \equiv n \pmod 2, de donde n^5 \equiv n \pmod 2 aplicando reiteradamente el mismo argumento (o, más simple: n^5 y n tienen la misma paridad). Luego 2\mid n^5-n.
Reuniendo los tres resultados:
\boxed{\;30 \mid n^5 - n \quad \text{para todo } n \in \mathbb{Z}\;}
Vía alternativa por factorización. n^5 - n = n(n^4-1) = (n-1)\,n\,(n+1)\,(n^2+1). El producto (n-1)n(n+1) de tres enteros consecutivos aporta ya los factores 2 y 3. Para el 5: si n \equiv 0, \pm 1 \pmod 5 el factor correspondiente de esos tres consecutivos es múltiplo de 5; y si n \equiv \pm 2 \pmod 5, entonces n^2 \equiv 4 \equiv -1, luego 5 \mid n^2+1. En todos los casos aparece el 5.
Generalización. El resultado es un caso particular del pequeño teorema de Fermat: para todo primo p se cumple p \mid n^p - n. De ahí:
- p=2: 2 \mid n^2-n.
- p=3: 3 \mid n^3-n; combinado con 2\mid n^3-n (paridad, o tres consecutivos) se obtiene 6 \mid n^3-n.
- p=5: el caso de este problema.
En general, el teorema de Fermat-Euler permite afirmar que n^{k}-n es divisible por el producto de todos los primos p tales que (p-1) \mid (k-1). Para k=5: los primos con (p-1)\mid 4 son 2,3,5, cuyo producto es 30, exactamente el resultado obtenido.
Cuestión 5 — Dígito de control ISBN-13
Denotemos los trece dígitos por d_1, d_2, \ldots, d_{13}, con pesos w_i = 1 si i es impar y w_i = 3 si i es par. La condición de validez es
\sum_{i=1}^{13} w_i\, d_i \equiv 0 \pmod{10}.
a) Cálculo del dígito de control de 978-84-9066-123
Los doce primeros dígitos son 9,7,8,8,4,9,0,6,6,1,2,3:
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| d_i |
9 |
7 |
8 |
8 |
4 |
9 |
0 |
6 |
6 |
1 |
2 |
3 |
| w_i |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
| w_i d_i |
9 |
21 |
8 |
24 |
4 |
27 |
0 |
18 |
6 |
3 |
2 |
9 |
S_{12} = 9+21+8+24+4+27+0+18+6+3+2+9 = 131 .
El decimotercer dígito ocupa posición impar, luego tiene peso 1 y debe cumplir 131 + d_{13} \equiv 0 \pmod{10}, es decir d_{13} \equiv -131 \equiv -1 \equiv 9 \pmod{10}:
\boxed{d_{13} = 9 \;\Longrightarrow\; \text{ISBN-13} = 978\text{-}84\text{-}9066\text{-}123\text{-}9}
b) Detección de un error en un único dígito
Supongamos que el dígito de la posición i se teclea como d_i' en lugar de d_i, con d_i \neq d_i' y ambos en \{0,1,\ldots,9\}. La suma ponderada varía en
\Delta = w_i\,(d_i' - d_i), \qquad \text{con } 1 \le |d_i' - d_i| \le 9 .
El error pasa inadvertido si y solo si \Delta \equiv 0 \pmod{10}.
- Si w_i = 1: \Delta = d_i'-d_i, y 10 \mid (d_i'-d_i) obliga a d_i'=d_i, contra la hipótesis.
- Si w_i = 3: 10 \mid 3(d_i'-d_i). Como \mathrm{mcd}(3,10)=1, 3 es invertible módulo 10 y se puede simplificar, quedando 10 \mid (d_i'-d_i), que de nuevo fuerza d_i'=d_i.
En ambos casos se llega a contradicción, luego:
\boxed{\text{Todo error en un solo dígito modifica la suma y es siempre detectado}}
Obsérvese que la clave es que ambos pesos, 1 y 3, son primos con 10; un esquema con peso par (por ejemplo 2 o 5) no tendría esta propiedad.
c) Transposiciones no detectadas
Sean dos dígitos contiguos en posiciones i e i+1, con valores a y b. Uno de ellos lleva peso 1 y el otro peso 3 (los pesos alternan siempre). Antes del intercambio, su aportación a la suma es a + 3b; después es b + 3a. La variación es
\Delta = (b + 3a) - (a + 3b) = 2a - 2b = 2(a-b).
La transposición no se detecta si y solo si
2(a-b) \equiv 0 \pmod{10} \iff (a-b) \equiv 0 \pmod 5 .
Con a,b \in \{0,\ldots,9\} y a \neq b, esto ocurre exactamente cuando
\boxed{|a-b| = 5}
es decir, para las parejas \{0,5\},\{1,6\},\{2,7\},\{3,8\},\{4,9\}.
Ejemplo concreto. Partimos del ISBN válido 978\text{-}84\text{-}9066\text{-}123\text{-}9, cuyos dígitos noveno y décimo son 6 y 1; como |6-1|=5, su intercambio es indetectable. El código erróneo 978\text{-}84\text{-}9061\text{-}623\text{-}9 tiene suma ponderada
9+21+8+24+4+27+0+18+1+18+2+9+9 = 150 \equiv 0 \pmod{10},
luego el sistema lo da por válido aunque no lo sea. Esta es la limitación conocida del ISBN-13 frente a su predecesor ISBN-10, que trabajaba módulo 11 con pesos 1,2,\ldots,10 y detectaba todas las transposiciones, a costa de necesitar el símbolo X para representar el resto 10.